2次方程式の照明の問題で

質問

『実数abc及び複素数αについて、αがxに関する２次方程式ax^2+bx+cの解であるならば、αの共役複素数も方程式ax^2+bx+cの解であることを照明しろ』
と言う問題なんですが、α+β=-b/aとαβ=c/aの公式を使ってやるのだと思ったのですが、どうしても上手く求めることができません。
どうやって照明したらいいか、ヒントをいただけるとありがたいです。

回答No.1

sanori · ベストアンサー

あんまり難しい問題ではないのでは、

二次方程式の解の公式より２つの解は
-b/2a + √(b^2-4ac)/2a
と
-b/2a - √(b^2-4ac)/2a

ここで解が複素数になるためには
D ＜ b^2-4ac ＜ 0
そこで、正の実数
D' = -D = -b^2+4ac
と置けば、２つの解は、
-b/2a + i√(D')/2a
-b/2a - i√(D')/2a

-b/2a と √(D')/2a は当然実数なので、
一方の解は、もう一方の解の共役複素数である。

補足

ありがとうございます・・。

D ＜ b^2-4ac ＜ 0
とは、
D = b^2-4ac ＜ 0
・・・ですか・・？

回答No.5

shiara

＃3の方の証明が簡単でよろしいと思いますが、期待されている方法ではないような気がします。もう少し、手間ひまをかける証明を期待されているのではないかと思われます。
　αが複素数であるということですから、αを実数部と虚数部に分けて、2次方程式の中に入れて整理しますと、実数部と虚数部の満たすべき関係式が得られます。次に、αの複素共役を2次式に入れて整理すれば、実数部と虚数部の満たすべき関係式から、ゼロになることが示せます。

回答No.4

nich

No.3 です。
なんかおもいっきりずれてました…
なんとか理解してください（涙）

回答No.3

nich

こんな解き方はだめなのかなぁ。

x=αが解なので、aα^2+bα+c=0 この式全体にバーをかけて、
_____________
aα^2+bα+c=O

　　　　　　　 _　　
aは実数なので、a=a, …
で、
　____ _
α^2=α^2
だから、
　　　 _ _
　　　aα^2+bα+c=0
これは、　＿　
　　　ｘ＝α が方程式の解であることを示す。　
みたいな。

お礼

ありがとうございます。
試させていただきます。

回答No.2

piyocchi

回答ではないのですが、無性に気になったもので…

×照明
○証明

です。