４次方程式の解

質問

x^4-4x-1=0 の実数解と虚数解を求めよ。

因数定理は使えない。
(x^2+ax+b)(x^2+cx+d)=0 と与式をおく。a,b,c,dは実数
展開して、係数を比較すると
(1)bd=-1
(2)a+c=0
(3)ac+b+d=0
(4)ad+bc=-4
これから、a,b,c,dを求めてと思いましたが、できませんでした。
(1)から(4)の式から１つの文字だけの方程式はできるが、それが解けない。
かえって、与方程式を解くよりむずかしい。
よろしくアドバイスおねがいします。

回答No.2

mister_moonlight · ベストアンサー

x^4-4x-1=(x＾4＋2x＾2＋1)-(2x＾2＋4x＋2)＝(x＾2+1)＾2-2(x+1)＾2＝0　を解くだけ。

お礼

回答ありがとうございました。
なるほど、こうやって因数分解できるのですか。
(1)２乗－２乗で因数分解するという方針が思い浮かばなかった
(2)係数が無理数になってもよい因数分解になれていない
(3)(x＾2+1)＾2-2(x+1)＾2の形を見て、一瞬これからどうするのかと考えてしまった
どうしても難しく考えてしまうが、基本的なことを使えるかどうかということを改めて
感じました。

回答No.5

momordica

#4です。
すみません。計算ミスです。bとdの符号が一部間違ってました。正しくは

　(a, b, c, d)=(√2, 1+√2, -√2, 1-√2)

　与式=(x^2+(√2)x+1+√2)(x^2-(√2)x+1-√2)

です。
紙に書かずにキーボードで打ちながら計算してるとどうもミスが多いです…

回答No.4

momordica

> (1)から(4)の式から１つの文字だけの方程式はできるが、それが解けない。

えーと、そのやり方で解けるはずですけど…

4つの式からb,c,dを消去すると
　a^6-4a^2-16=0
というaの6次方程式になります。(もし導き方がわからなかったら、言ってください)
この方程式は
　(a^2)^3-4(a^2)-16=0
のようにa^2の3次方程式と見ることができ、因数定理から容易にa^2=2と言う解を
見つけることができるはずです。
　(a^2-2)(a^4+2a^2+8)=0
さらに因数分解できますが、別にすべての解を求める必要はないので、とりあえず
　a^2=2　から　a=√2
としておきます。これを(1)～(3)に代入すれば
　c=-√2,　b+d=2,　bd=-1
が得られるので、さらにb, dを２解に持つ二次方程式
　t^2-2t-1=0
を解いてやれば、
　(b, d)=(-1+√2, -1-√2), (-1-√2, -1+√2)
となります。これらのうち、(4)を満たすのは
　(b, d)=(-1+√2, -1-√2)
の方だけです。よって、
　(a, b, c, d)=(√2, -1+√2, -√2, -1-√2)
となり、与式は次のように因数分解できます。

　与式=(x^2+(√2)x-1+√2)(x^2-(√2)x-1-√2)

このやり方は、4次方程式の一般解法の一つで、デカルト法と呼ばれるものです。
任意の4次方程式を3次の項が0になるように変形するところまでは#3さんの挙げておられる
フェラリ法と同じですが、その後、上のような方法でa^2の3次方程式に帰着できるので、
それが解ければ上のように因数分解ができます。
フェラリ法よりこっちの方が分かりやすい気がするんですけどね。

お礼

回答ありがとうございます
aの６次の方程式が解けませんでした
気づきませんでした

回答No.3

alice_44

因数分解というパズルを楽しむのも、ボケ防止には役立つかも知れない。
あまり手間隙かけていられないときには、所詮４次方程式なのだから、
解公式を使ってしまっても宜しい。
フェラリの公式サイト → http://www.ferrari.com/Japanese/Pages/Home.aspx
違った。こっちだ → http://www.geocities.co.jp/HiTeens/5433/store/equation/ferrari1.html

回答No.1

uxda

実数解と虚数解の「個数」を
求めるのではありませんか？