2つの2次方程式が1つの解を共有する条件

質問

2つの2次方程式が1つの解を共有する条件

2つの方程式ax^2+bx+0=0とAx^2+Bx+C=0が1つの解を共有する条件は、
(aC-Ac)^2=(aB-Ab)(bC-Bc)
と公式集に書いてあったのですが、どう示せばよいのでしょうか?

回答No.2

htms42 · ベストアンサー

ちょっと違ったやり方をしてみます。
ｘ^2の係数を１にそろえた式を2つ考えます。
ｙ＝ｘ^2＋(b/a)ｘ＋(c/a)　　
ｙ＝ｘ^2＋(B/A)ｘ＋(C/A)

この2つの放物線は平行移動で移り変わることができる関係になっています。
したがって2つの放物線は
・１点で交わる
・一致する
・交点を持たない
のどれかです。

b/a＝B/A　であれば一致するか交点を持たないかのどちらかです。
b/a≠B/A　であれば１点で交わります。
その交点のｘ座標は
ｘ^2＋(b/a)ｘ＋(c/a)＝ｘ^2＋(B/A)ｘ＋(C/A)

((b/a)－(c/a))ｘ＝((C/A)－(c/a))
ｘ＝((C/A)－(c/a))／((b/a)－(c/a))
この交点がｘ軸上にあればｘは元の２つの方程式の共通の解になります。
元の方程式に代入すれば　＝０　が成り立つはずです。
代入してまとめればご質問の式が出てきます。

このやり方であればｘ^2の項が消えるというのは自動的に出てきます。
連立方程式のやり方だと「消えるように組み合わせた」という内容ですから「どうして？」という疑問を持つ人も出てきます。解くのが簡単だからという解法のテクニックの問題になってしまいます。

ｂ／ａ≠Ｂ／Ａ　という条件も最初に出てきます。意味も分かりやすいです。
（ご質問の式ではこの条件が抜けています。）

回答No.7

alice_44

ベクトルの外積よりも、ブロック行列式に見える
と言ったら、軟弱かなぁ。

お礼

ありがとうございます。
しかし、ブロック行列式との関連はどうしても見出せなかったです。

いま、お風呂入って、歯を磨いているときに以下のことを思いつきました。

2つの方程式ax^2+bx+c=0とAx^2+Bx+C=0が1つの解を共有する
⇔
あるsが存在して、as^2+bs+c=0かつAs^2+Bs+C=0
⇔
ある等比数列ベクトル(1,s,s^2)が存在して、(c,b,a)・(1,s,s^2)=0かつ(C,B,A)・(1,s,s^2)=0
⇔
ある等比数列ベクトル(1,s,s^2)が存在して、(c,b,a)×(C,B,A)//(1,s,s^2)
⇔
ある等比数列ベクトル(1,s,s^2)が存在して、(bA-Ba,aC-Ac,cB-Cb)//(1,s,s^2)
⇔
(bA-Ba,aC-Ac,cB-Cb)が等比数列ベクトル
⇔
(aC-Ac)^2=(bA-Ba)(cB-Cb)

このひらめきは一人では無理でした。
人に悩みを相談し、自分でも悩みを考えることで一応の解決できました。
みなさんに感謝します。

また、時に僕は数学の妄想で人から卑下されがちなのですが、
似ている数式にはなんらかの関係があるはず
という信念を貫けることができてうれしく思っています。

回答No.6

alice_44

←No.5　おお。三八式歩兵銃が登場して、老兵は、感涙の至り。
http://aozoragakuen.sakura.ne.jp/taiwa/taiwaNch02/huhensiki/node6.html

お礼

ありがとうございます。
終結式は、
det((a,b,c,0),(0,a,b,c),(A,B,C,0),(0,A,B,C))=0
ですが、それを
(aC-Ac)^2=(aB-Ab)(bC-Bc)
に変形するには少し計算がいると思います。
それをもっとうまく導けるように、できれば暗算で納得したいという願望があります。

別の見方として、(aC-Ac)^2=(aB-Ab)(bC-Bc)
はベクトルの外積とか行列式とか判別式に形が似ています。
2次方程式ax^2+bx+c=0を2次元射影平面上の点(a:b:c)とみなして、方程式と点との間の幾何学的な関連を見つけ出すことで、計算することなしに、(aC-Ac)^2=(aB-Ab)(bC-Bc)を納得できればそれが「最強」と思います。
もしくは、2次方程式ax^2+bx+c=0を同次化して2次曲線ax^2+bxy+cy^2=0とみなし、方程式と2次曲線との間の幾何学的な関連を見つけ出すことで、計算することなしに、(aC-Ac)^2=(aB-Ab)(bC-Bc)を納得できればそれが「最強」と思います。

回答No.5

Tacosan

質問者の学年によるところもあるけど「終結式」がある意味「最強」とも言えるのでは＞#4.
この条件が出てくることは確認済み.

お礼

ありがとうございます。
終結式は、
det((a,b,c,0),(0,a,b,c),(A,B,C,0),(0,A,B,C))=0
ですが、それを
(aC-Ac)^2=(aB-Ab)(bC-Bc)
に変形するには少し計算がいると思います。
それをもっとうまく導けるように、できれば暗算で納得したいという願望があります。

別の見方として、(aC-Ac)^2=(aB-Ab)(bC-Bc)
はベクトルの外積とか行列式とか判別式に形が似ています。
2次方程式ax^2+bx+c=0を2次元射影平面上の点(a:b:c)とみなして、方程式と点との間の幾何学的な関連を見つけ出すことで、計算することなしに、(aC-Ac)^2=(aB-Ab)(bC-Bc)を納得できればそれが「最強」と思います。
もしくは、2次方程式ax^2+bx+c=0を同次化して2次曲線ax^2+bxy+cy^2=0とみなし、方程式と2次曲線との間の幾何学的な関連を見つけ出すことで、計算することなしに、(aC-Ac)^2=(aB-Ab)(bC-Bc)を納得できればそれが「最強」と思います。

補足

いつもお世話になります。
終結式が代数的な解法だとすると、外積を使った幾何学的な解法を思いついたのでお知らせします。

2つの方程式ax^2+bx+c=0とAx^2+Bx+C=0が1つの解を共有する
⇔
あるsが存在して、as^2+bs+c=0かつAs^2+Bs+C=0
⇔
ある等比数列ベクトル(1,s,s^2)が存在して、(c,b,a)・(1,s,s^2)=0かつ(C,B,A)・(1,s,s^2)=0
⇔
ある等比数列ベクトル(1,s,s^2)が存在して、(c,b,a)×(C,B,A)//(1,s,s^2)
⇔
ある等比数列ベクトル(1,s,s^2)が存在して、(bA-Ba,aC-Ac,cB-Cb)//(1,s,s^2)
⇔
(bA-Ba,aC-Ac,cB-Cb)が等比数列ベクトル
⇔
(aC-Ac)^2=(bA-Ba)(cB-Cb)

回答No.4

alice_44

グラフを使うのは、直感的でいいれども、
牛刀・核兵器の類といった印象も否めない。
No.1 の解法で、二次項を消したあと、
一次項が消えないという場合分けから
自然に、aB-bA≠0 という条件が出る。
aB-bA=0 で、両式の重根が一致してもよいから、その場合も後で合流しておく必要がある。

回答No.3

Tofu-Yo

とりあえず、推測ではありますが問題を補足すると、多分、「１つ以上の解を共有する条件」ですね。「(aC-Ac)^2=(aB-Ab)(bC-Bc)」…（１）は２つの解を共有する場合を含んでいます。(a,b,c)=(A,B,C)のときなんか明らかに２つの解を共有しますが、（１）を満たしていますよね。

あと、２次方程式であること（つまりa≠0、A≠0）も大前提です。a=0、A=0のときは各１次方程式の左辺がどういう直線であれ（１）を満たすし、片方だけが１次方程式のときも、たとえば(a,b,c)=(0,1,-1)、(A,B,C)=(1,0,0)のとき（１）を満たしますが解は共有しませんね。

もっと言うと、虚数解も含めないと条件が足りません。「判別式≧0」がなければ実数解自体ないのですから。

さて、解き方ですが、方程式第１式の解をα、β、第２式の解をγ、δとおくと、１つ以上の解を共有する条件は、「α=γまたはα=δまたはβ=γまたはβ=δ」ということになります。このことは、以下の式と同じことです。

(α-γ)(α-δ)(β-γ)(β-δ)=0

これを泣きながら展開してα+β=-b/a、αβ=c/a、γ+δ=-B/A、γδ=C/Aを代入し、ふたたび泣きながらまとめると（１）にたどり着きます。結構工夫しないと難しいですが…

がんばってやってみてください～

お礼

ある会社から依頼されてオリジナル問題作成の仕事しているときに、すごい解法を思いつきました。

よく大学入試に、x^3-kx+1=0の解の個数を求めよという問題があります。
y=(x^3+1)/x,y=kのグラフを描いて求めるのですが、新しい変数yを用いることがポイントです。
それと同様に文字の置き換えを利用します。

2つの方程式ax^2+bx+c=0とAx^2+Bx+C=0が複素数解を含めて解を共有する
⇔
y=x^2とおくと、2変数2連立方程式ay+bx+c=0とAy+Bx+C=0が解(y,x)をもち、y=x^2をみたす
⇔
aB-Ab=0のとき、2直線ay+bx+c=0とAy+Bx+C=0は平行で、解(y,x)をもつためには一致しなければならず、aC-Ac=0。このとき、直線ay+bx+c=0上のある点はy=x^2をみたす。
aB-Ab≠0のとき、2直線ay+bx+c=0とAy+Bx+C=0は平行でなく、交点は(y,x)=((Bc-bC)/(aB-Ab),(Ac-aC)/(aB-Ab))。これがy=x^2上にあるので、(Bc-bC)/(aB-Ab)=(Ac-aC)^2/(aB-Ab)^2。
⇔
(aC-Ac)^2=(aB-Ab)(bC-Bc)

回答No.1

nag0720

ax^2+bx+0=0　は　ax^2+bx+c=0　の間違いでしょうね。

解法の方針だけ

2つの方程式からxを消せばいいのですが、いきなり消すのは難しいので、
x^2の項を消して、x=・・・の形にします。
それを元の式ax^2+bx+c=0に代入して整理すれば求める式になります。