３次方程式の解法

質問

高校で数IIを勉強している者です。
この間、３次方程式「ax^3+bx^2+cx+d」のa=1の場合の解法を習いました。この多項式の因数を探していって割り算をして因数分解して出てきた１次式と２次式を解くというものでしたが、これがa≠1,0だったらどうやって解くのでしょうか？
また、教科書に「n次方程式にはn個の解がある」と書いてありましたが、これ以上の４次方程式や５次方程式の解法があるのでしょうか？それに、２次方程式にあった解の公式は３次以上の方程式にも存在するのでしょうか？できればこういったことも知りたいです。

たくさん質問してしまって申し訳ありません。お時間のあるときで構わないのでどうかご回答よろしくお願いします。

回答No.3

Tacosan · ベストアンサー

有理数で解が存在するなら, 分子は「定数項の約数」, 分母は「最高次係数の約数」です. つまり, このような形の有理数 (正負両方) を全て調べ, それでも解でなければ 1次の因数を持たないことになります.
で, #2 の通り 4次までなら解の公式があります. 3次は Cardano, 4次は Ferrari の名前で知られていますが実用性はないですね.... それぞれ, Cardano の公式は「x = u+v とおいて u^3, v^3 が満たす 2次方程式を解く」, Ferrari の公式は「もとの 4次式を 2個の 2次因数に分解する (ために 3次方程式を解く)」 ことに基づいています. この先同じように計算することはできるのですが, 5次方程式に適用すると 6次方程式になるそうです. で, 今度はこの 6次方程式を解こうとすると 8次方程式. この辺に興味がある場合は「分解方程式」で調べてみてください.
結局 Abel と Galois が独立に 5次以上の代数方程式には代数的解法 (加減乗除+べき根を有限回行って解を求める方法) が存在しないことを証明しました. まあ代数的に解けないということを示しただけなので, 別の道具立てを使えば解けたりします.

回答No.7

ht1914

＃６のご回答に関連してです。

高校生だと化学で中和滴定を習いますね。教科書には滴定曲線といってｐＨの変化を表すグラフが載っています。
あのグラフはどの様にして求めているのでしょう。
まず水素イオン濃度［Ｈ＋］を決める方程式を解きます。得られた解をｐＨ＝－ｌｏｇ［Ｈ＋］で変換してグラフを書きます。
塩酸と水酸化ナトリウムの場合は２次方程式になります。酢酸と水酸化ナトリウムだと３次方程式になります。酢酸とアンモニアの場合だと４次方程式になります。リン酸とアンモニア水だと６次方程式になります。
私はこれらをニュートン法という近似法で解いてグラフを書いたことがあります。プログラムはＢＡＳＩＣを使いました。

回答No.6

Suue

３次方程式の公式ですが、実際には実用にならない点がいくつかあります。

まず、その式があまりにも複雑です。２次方程式の解の公式は非常に簡単ですが、３次方程式の場合は立方根や平方根が複雑に組み合わさり、しかも単に元の方程式の係数をそのまま用いていないのです。

次に、重解でない３実根を持つ方程式においては、一般の複素数の立方根を求める必要があることです。この複素数の立方根を求める際、さらに重解でない３実根を持つ別の方程式が出てきて、それがずっと続いてしまいます。

そして、自然科学で出てくるような３次方程式に関しては、実際に必要なのは立方根や平方根を用いた解ではなく、有効数字４～５桁程度の「数値」です。要するに、物理などにおいて知りたいのは、正確な解ではなくその大まかな近似値でよいのです。ですから、物理などにおいて解の公式で３次方程式を解くことはありません。

いろいろ書きましたが、３次方程式の解の公式は存在します。しかし、あまり実用にならないので、覚えても仕方ないし、覚える必要はまったくありません。もしその式を知りたければ、ネットで探すより図書館か本屋で数学の本を探してみるのがよいとおもいます。

回答No.5

kkkk2222

No.1です。
リンクが化けているですね。失礼しました。
Wikipediaで「代数方程式」を検索してください
↓
化けてないですよ。

回答No.4

suzukikun

No.1です。
リンクが化けているですね。失礼しました。
Wikipediaで「代数方程式」を検索してください。

回答No.2

oxbridge1985

a=1の解法とありますが、同じ方法でaが何でも可能だと思いますが。。

３次方程式の解の公式は”カルダノの公式”というのがあったと思います。”フェラーリの公式”が４次方程式の。何かの雑誌で見ました。

お礼

早速のご回答ありがとうございます。
全部をaで割れば解けますね。すみません。
カルダノの公式とフェラーリの公式について教えていただけないでしょうか？複数解説されているサイトを見つけましたが、3次式は２次の項を変数変換というものによって消去できると記載されていました。しかし、このことがよく理解できません。簡単でいいので教えていただけないでしょうか？

回答No.1

suzukikun

ａ＝１出なかったら、ａで全体を割ればよいのです。
ｎ次方程式にはｎ個の解が存在します。字数には関係ありません。複素数内で解があります。
３次の解の方程式はありますが、あまり実用的とは思えません。

５次以上の方程式は代数的には解けません。

参考URL：

http://ja.wikipedia.org/wiki/代数方程式

お礼

早速のご回答ありがとうございます。
両辺をaで割れば解けますね！簡単なことに気づかなくてすみません。
n次方程式の解について、n個の解があるのは知識として知っているのですが、なぜそうなるのか気になったため質問させていただきました。
できれば３次方程式の解の公式について教えていただけないでしょうか？
余計に質問増えてしまいましたね。ネットで検索してみてもなかなか出てこないので大変申し訳ありませんが教えてくださいませんでしょうか？