二次方程式の解の公式について

質問

個別指導の塾の講師をしているhisanoriです。中学生の学習内容で二次方程式の解の公式がなくなってしまいましたが、僕は、レベルが中以上の3年生には二次方程式の解の公式を教えています。
　しかし、塾の室長から二次方程式の解の公式は中学生の範囲ではないので、あまり教えないほうが良いといわれてしまいました。
　私は、因数分解で解けないもので平方の形がない方程式は、解の公式を使ったほうが早く解けるので、解の公式を使うことを積極的に勧めたほうが良いと考えています。従って、成績が中以上の生徒には積極的に教えたほうが良いと思うのですが、皆さんはどうおもいますか？
　塾の先生及びその経験者等からアドバイスをいただけたら幸いです。よろしく御願いいたします。

回答No.9

noname#26106 · ベストアンサー

原理を生徒に体得せしめること、一方で受験に成功するために解法を習熟せしめること、の何れに力点を置くか。永遠の課題です。

中学２年のとき、多元連立一次方程式の解法として、指導要綱にある代入法以外にこんなものも出来るぞ、と行列による解法を教えた若い数学教師がいました。

いとも簡単に解が得られる。テストになって生徒の２人（３００人中）がこの解法で答えたところ、くだんの教師、２人を教員室に呼びつけ、「これを使ってはいけない！」と真っ赤になって怒鳴りました。

今の生徒と違って、従順な生徒（一人は僕）は「はい、わかりました。すみませんでした」と指導に従ったことがあった。昭和２３、４年のことです。今にして思うに、この教師は中学２年くらいで行列の原理も解さずに技能的に使うな、ということを示したかったのでしょう。

受験進学校では高２まででカリキュラムを終え、高３では１年かけて演習つまり解答テクニックを教え込む。

例えば円柱の底面の直径を過ぎる平面によって切り取られる部分の体積を求めよという積分の応用問題で、底面に平行な断面（円の一部になる）を円柱の高さ方向に積分する解法を採ると大変なことになり、高校数学では対処しきれないが、底面に鉛直な断面（三角形になる）を円柱の径方向に積分する解法を採ると、いとも簡単に解が得られる。

「こういう問題にはこうして断面を作るように！」の類の「べき、べからず大集」を徹底して叩き込むわけです。大集です。膨大な内容です。

因みに上の問題、昭和２６年か２７年の福島大学の入試で出され、同じものが昭和３３年の東京大学の二次試験で出ている。駿河台予備校では前年に解き方演習でこの問題を教えていて、この年に東大合格した予備校生は「先生、出ましたよ、あの西瓜を切ったような体積求めるヤツ、おかげで３分間で答案できました！」

受験テクニックを集中的に叩き込む受験校（予備校、塾）が父兄に圧倒的に支持される理由はここにある。だがその弊害は当然、有ります。大挙して東大に入学してくる有名進学校出身者が入学後、そして卒業後になぜパッとしないのか。

上は、駒場（教養時代）や学部の同期生達はじめ先輩後輩を観察した結果です。（あっちも僕に同じことを言っている。だからお相子だぁ）

でも原理に拘泥するあまり、受験テクニックが得られないとなると、父兄の支持はなくなり、生徒が集まらず、その学校（予備校、塾）は潰れる。まさにトレードオフです。模範解答はありません。

となれば、質問者さんがご自分の信念に基づいて進むほか、ないでしょう。

僕が同じ立場なら、生徒に、原理と公式および受験数学との関係、文部省と親たちの建前と本音を素直に話し、その上で原理を説明し、ついで裏技的に公式を教え、さらに、この公式で得られる解を参考に、原理だけで解いたように見せる答案の書き方まで伝授しますな。このあたりになると、個々人の価値観、生き様の領域です。だから批評、批判、感想は無視。

以上は回答です。以下は追記です。

質問者のヒサノリ様、以前の僕の質問No.641552へのご回答、深謝します。実はヒョンなところから貴方のこの質問に遭遇しました。

発端は回答者のお一人のお方futago-yaさまによる別の質問をクリックミスで開きついでに読んで、「僕と同じくらいの年代で、とんでもない婆さんが居るもんだ（futago-yaさんのことではありませんぞ。当該質問に書かれている人物のこと。）」と呆れ、辿っているうち本質問に遭遇。

何事にも真摯に懸命に取り組む、ヒサノリ様のご姿勢（特許カテゴリの以前の数回のご質問を全部読みました）に感嘆と共感の拍手をおくりたいです。

また産業財産権の分野でぜひご教示ください。ずっと期待し続けますね。

回答No.10

noname#5366

僕はバイトで塾講師をやっているものです。僕自身中３をもっているのですが、僕は教えてしまっています。教科書の二次方程式の解法を見ると、高校になって二次方程式の解の公式を習ったあとではまず使わないだろうと思うような物凄い方法でといています。今の学生にとっては当たり前なのかもしれないですが、解の公式を中学で習った自分にとっては考えられない解き方です。去年までは自分の近所の公立中学でも解の公式を教えている学校は多かったのですが、今年はまったく教えない学校が多いようですね。なので、塾の授業では、学校と違って教えることが出来るんだ、ということを生徒に伝えたうえで解の公式を教えて、それを使うか使わないかは生徒の判断に任せています。あと、重要なのは学校の試験で途中式を書くような問題が万が一でた場合には使わないようにともいっています。参考になれば幸いです。でも、教える側としても教えたいと思う人はとても多いと思うのは自分だけでしょうか？

回答No.8

darce

ただの中３の私ですが一言！！
絶対教えるべきですよー
私の学校は私立の学校ということもあり授業で公式を習ったのですが、最初公式なしで完璧にみんなが計算できるようになったら次の授業で公式を教わってどちらもできるようにするといいということで教わりました。
テストとかでも公式はラクだしどちらもできたほうがどちらかのやり方を忘れてももう片方のやり方でとけばいぃから絶対に得ですよー！！
なんか変な文ですいません・・

回答No.7

shinobinomono

全ての二次方程式は、解の公式を使えば解けるので、この公式の存在自体が中学生にとっては驚きで、いわば数学的なよさを感じることのできる場面のひとつではないでしょうか。
　しかし、ただやみくもに公式を教えて、ドリルによって使い方の習熟を図ることは、数学を教えるのではなく、点の取り方を教えているようで感心しません。
　流れからいけば、平方根の考えを使った解法から平方完成に持っていくのが自然であり、その後因数分解を使える特殊な場合を教えるのがよいのではないでしょうか。
　今の中学生にとって、平方完成の形に変形すること自体（特にｘの係数が奇数の場合）難しいことであり、ましてや二次方程式の一般形から公式を導くことは無理に理解させる必要もないと思います。平方完成ができるようになったところで、「こんな公式もあるよ」程度に紹介するのがよいのではないでしょうか。
　現行の指導要領は、教科書の内容全てを「基礎」だと言っています。ですから教科書に出てこない内容を教えることは、間違っていることではなく必要なことなのです。ただ、教科書に載っている平方完成をおろそかにして、教科書に載っていない解の公式で解くことに終始するのは明らかに間違いだと思います。
　計算力が落ちており、解の公式を使っても正解を導くことができない生徒が増えつつある昨今、最低でも教科書に出てくる内容は確実に理解させてあげたい、と思うこのごろです。
　答えになっていなくてすみません。

回答No.6

futago-ya

中３の子どもを持つ母です。
専門家でも経験者でもなくすみません。

解の公式ですが、私も教えたほうがいい派なのですが、学校の先生いわく「解の公式で解いた場合、不正解と見なされる」とのことです。
解答だけを書くものなら、解の公式で解けば便利なのですが、式も書かなければならない場合に、解の公式で解いてあれば不正解・・・。
日本全国の高校入試がそうなるとは思えないのですが、本来、正解であるものが不正解とされてしまうならば、安易に教えないほうが、子どものミスに繋がらないのかな・・・という気はします。

回答No.5

noname#67964

こんにちは。hisanoriさん。

ボクは基本的にhisanoriさんと同じ考えですが、
i536さんと同じく「積極的に使え」とは教えません。
どの二次方程式を解くのにも使ってしまう生徒がいるからです。
しかも解の公式は複雑で計算ミスも多くなります。

ですから、解の公式が指導要領に入っていたときでも
「最後の手段」として教えていました。
まず、きっちり因数分解して欲しい、
また、因数分解できないことを判別して欲しい、というのがありました。

付け加えとして、ボクが言うまでもなく、平方完成も良い方法です。
例えば　x^2-80x+1596=0という二次方程式を解くとします。
この左辺は因数分解可能なのですが、
かけて1596、たして-80となる２数を探すのって中学生は苦労しそうです。(^^;)
でも平方完成だと非常に楽に解けます。
こんな具合です。
x^2-80x+1596=0
x^2-80x=-1596
(x-40)^2=4
x-40=±2
x=40±2
x=38,42

ということで、ボクは
「二次方程式の解の公式も教えた方がいい」派です。
平方完成は現在の教科書でも扱っていますからね。

回答No.4

noname#7651

私は、hisanoriさんの生徒と同じ中学３年です。塾の先生でも経験者でもなくてすみませんm(><)m　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　私も塾に行っています。『二次方程式』を習った時、私の塾の先生も「二次方程式の解」を教えてくれました!!高校に行ったら習う事だし、早く知ってたら高校に行った時にすぐ理解できるし、この方法は「解の方式」で解いた方が速いし、間違いにくい…という理由で教えてくれました。私自身、教えてもらえて良かったです☆　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　私は積極的に教えたほうがいいと思います☆なんか意味の分からない文になってしまって、すみません…教えられる側の意見としてとっていただければ嬉しいです。

回答No.3

i536

hisanoriさん、こんばんは、#1です。
下記文は紛らわしい書き方でした、お詫びして補足します。

>ピタゴラスの定理と二次方程式の解の公式とを自分で導ければ
>中学数学は完全に習得したことになる

中学生が白紙の状態からまったく独力で、
この両者のいずれをも証明できないことは
もちろん、分かりきったことだ
と思います。

したがって、書きたかったことは、下記です。
『一度証明を先生から教えてもらってから、こんどは別の日に、
白紙の状態から本人が自力（ヒントまったく無し）でこの２つを証明できれば、
中学数学は完全に習得したことになる』

---
解の公式で感動させることができたということは、
hisanoriさんの教え方がうまいのでしょうね。
もちろん、その生徒さんも素晴らしいです。

回答No.2

arukamun

こん＊＊は

私は解の公式を教えるのに賛成なのですが、下記の様に簡単に導き出せる事を教えてあげる事が大事だと思います。

　ａｘ＾２＋ｂｘ＋ｃ＝０
　　ｃを右辺へ
　ａｘ＾２＋ｂｘ＝－ｃ
　　両辺をａで割る
　ｘ＾２＋（ｂ／ａ）ｘ＝－（ｃ／ａ）
　　両辺に（ｂ／２ａ）＾２を加える
　ｘ＾２＋（ｂ／ａ）ｘ＋（ｂ／２ａ）＾２＝（ｂ／２ａ）＾２－（ｃ／ａ）
　　左辺、右辺を計算
　（ｘ＋（ｂ／２ａ））＾２＝（ｂ＾２－４ａｃ）／４ａ＾２
　　両辺を２分の１乗する
　ｘ＋（ｂ／２ａ）＝±√（ｂ＾２－４ａｃ）／２ａ
　　（ｂ／２ａ）を右辺へ
　ｘ＝－ｂ±√（ｂ＾２－４ａｃ）／２ａ

回答No.1

i536

解の公式を教える方に賛成です。

ただし、解の公式を積極的に使うことには賛成できないです。
中学生のときはいろいろ工夫・試行錯誤して解いて欲しいです。

ピタゴラスの定理と二次方程式の解の公式とを自分で導ければ
中学数学は完全に習得したことになると言って、
最大級に強調して、以前塾で教えていました。

また、このふたつを頂上・最終目的として中学１年から数学を
学んできたのだとまで塾生に言い切っていました。

現在の中学３年の教科書には解の公式は載っていないですね。
そのうち復活すると思います。

ちなみに、わたしが中学のときは三角関数もあり、二次関数も
原点固定のみではありませんでした。

お礼

早速回答ありがとうございます。
　なるほど、自分で導き、このように二次方程式の解がなることを教えると言うことですね。
　私は、はじめは助け舟を出しながら生徒に解の公式を導出させ、この解の公式を使うと簡単に二次方程式が解けることを教えました。そのとき生徒は「すごい、こんなに簡単に解けるんだ。」と感動していました。自分で平方の形を作るよりも早く簡単にできます。