二次方程式

質問

３つのxの2次方程式　
ax^2+2bx+c=0　bx^2+2cx+a=0　cx^2+2ax+b=0　について、すくなくとも１つは実数解をもつことを証明せよ。（ただし、a, b, cは0以外の実数）

という問題なのですが、判別式を使って考えているのですが、よく分かりません。どなたかアドバイスをお願いします。

回答No.2

noname#57316 · ベストアンサー

ax^2+2bx+c=0　bx^2+2cx+a=0が実数解を持たないとすると
b^2<ac
c^2<ab
b^2、c^2、ac、abは全て正の数であるから
b^2・c^2<ac・ab=a^2・bc　（1）
・）a>0のとき、b>0、c>0であるから、bc>0
（1）の両辺をbcで割ると
bc<a^2
・）a<0のとき、b<0、c<0であるから、bc>0
（1）の両辺をbcで割ると
bc<a^2
∴cx^2+2ax+b=0は実数解を持つ。
QED

お礼

よくわかりました。ありがとうございました。

回答No.1

noname#47894

全ての方程式が、実数解を持たないとすると、

b^2-ac<0
c^2-ba<0
a^2-bc<0

となります。この３式を辺々加えて、矛盾を導いてください。
背理法による証明となります。

お礼

ありがとうございます。
辺々加えるというのは
a^2+b^2+c^2-ac-ba-bc<0が矛盾するということでしょうか？
今、実際にa,b,cに2,3,4を入れてみたら、確かに左辺の方は0以上になったのですが、どう説明してよいのかよく分かりません。