４次方程式についての問題をお願いします

質問

４次方程式についての問題をお願いします

x^4 + Ax^3 + Bx^2 - 2x - 5 = 0 で　-1 + 2 i が解のとき

1) 実数 A , B の値
2) 残りの解
3) 左辺を実数の範囲で因数分解

を教えてください
答えはあるのですが何から手をつけていいかが分かりません
ずうずうしいのを承知で解法をお願いいたします

答え　
1)a=2 b=4 　
2)-1,1,1-2i
3)(x^2+2x+5)(x^2-1)

回答No.3

info22_ · ベストアンサー

やり方は他の方が回答済みですね。色々な方法がありますね。

1)
一番地道なやり方
根気よく
x=-1+2i
を4次方程式に代入して式を整理すると

(11A-3B-10)-i2(A+2B-10)=0
A,Bは実数なので
11A-3B-10=0　かつ　A+2B-10=0
これらの式をA,Bの連立方程式として解けば
A=2,B=4

2)
4次方程式は
x^4+2x^3+4x^2-2x-5=0 …(A)
x=-1+2i
x+1=2i
(x+1)^2=x^2+2x+1=-4
x^2+2x+5=0
従って(A)の左辺はで割り切れるから
この因数が括りだせて、
x^4+2x^3+4x^2-2x-5=(x^2+2x+5)(x^2-1)=0…(■)
残りの解は
x=-1+2iの複素共役解x=-1-2iと
x^2-1=(x-1)(x+1)=0の解のx=1,-1

3)
（■）から
(x^2+2x+5)(x^2-1)=(x^2+2x+5)(x+1)(x-1)

お礼

全て、参考になりました
特に因数分解の部分が凄く参考になりました
本当にありがとうございました。

回答No.2

haragyatei

解が与えてあるので解を入れると等式が成立します。またA,Bが実数ですので-1 + 2 i が解なら-1 - 2 iも解です。だから二つを代入してA,Bの連立方程式を得てA,Bを求めます。または-1±2iをもつ2次方程式を得てこれで与式を割ればA,Bが求まります。2次方程式かける2次方程式とすれば良いのです。

お礼

ありがとうございました。

回答No.1

jirafu2003

4次方程式のときでなくても-1+2iが解ならば、-1-2iも解と言えます。共役な複素数といいます。x=-1+2iとおいて、x+1=2iと変形して、両辺を2乗して、(x+1)^2=-4より、x^2+2x+5=0となります。
つまり、（x^2+2x+5）（x^2+cx+d)と書けます。恒等式として、展開するとｃ、ｄ、A、Bを求めることが出来ます。あるいは、因数定理からA,Bを求めることも出来ます。因数定理ならば、解を求めることも可能になります。

お礼

ありがとうございました。