極限の計算

質問

limx^3/x^2-3
x→√3±0
の計算を教えて欲しいです。

回答No.3

info22_ · ベストアンサー

#2です。

A#2の補足質問の回答をします。

>分母の±0ってなんですか
その前に
x→√3±0
の ±0の意味は分かっていますか？
xは√3にはならない（√3に等しくはない）けれど限りなく√3に近づくという意味です。
+0の方は
x→√3+0の場合　xが√3より大きい方から限りなく√3に近づく意味です(ただしxは√3には等しくない)。
-0の方は
x→√3-0の場合　xが√3より小さい方から限りなく√3に近づく意味です(ただしxは√3には等しくない)。

分数の分母はゼロになれません。分母がゼロだと分母がゼロの所で分数が未定義になります。
しかし、極限では、分母は「正の値の方からゼロに限りなく近づけます（ゼロではない）」または「負の値の方からゼロに限りなく近づけます（ゼロではない）」という考えをします。

分母→+0は分母が正の値を取りながら限りなくゼロに近づく（ゼロの値にはならないが限りなく小さな正の数になる）ことを表します。今の場合分子→(√3)^3=3√3＞0なのでこの限りなく小さな正数をε(＞0)とおくと
　分子/分母→3√3/ε=+∞
（正の定数を限りなく小さな正数で割ると、限りなく大きな正数になる。有限な数値にはならず、数値は正の∞の方に発散することを意味する）

分母→-0は分母が負の値を取りながら限りなくゼロに近づく（ゼロの値にはならないが限りなく小さな負の数になる）ことを表します。今の場合分子→(√3)^3=3√3＞0なのでこの限りなく小さな負数を-ε(＜0)とおくと
　分子/分母→3√3/(-ε)=-(3√3/ε)=-∞
（正の定数を限りなく小さな正数で割ると、限りなく大きな正数になる。有限な数値にはならず、「-」の符号が付くので数値は負の∞つまり-∞の方に発散することを意味する）

お分りになりましたでしょうか？

なお、極限では
　定数/(±0)型
　0/0型
では分子や分母の「0」は実は「0」にはなれないが、限りなく「0」に近づけることはできます。その際、大きい方から0に近づくのか、小さい方から0に近づくかにより、極限値の符号が変わってしまう場合は、「+0」で大きい方から限りなく0に近づける。または「-0」で小さい方から限りなく0に近づける。という「+0」や「-0」の表現（表記の仕方）が使われます。
覚えておきましょう。

お礼

長らくお待たせしてすみませんでした。

最初は±0＝０などと、数字通りのような意味だと思っていましたが、±０はinfo22_さんがおっしゃったような”意味”を表していたんですね。長いあいだこの話題を敬遠していたのでスッキリわかってとても感謝です！　長文ありがとうございました！

回答No.2

info22_

>lim[x→√3±0] x^3/(x^2-3)
なら

x→√3+0 のとき
分母:x^2-3→+0,　分子：x^3→3√3 なので
lim[x→√3+0] x^3/(x^2-3)=+∞（発散）

x→√3-0 のとき
分母:x^2-3→-0,　分子：x^3→3√3　なので
lim[x→√3-0] x^3/(x^2-3)=-∞（発散）

いずれの場合も発散（収束しない、収束値を持たない）ですね。

補足

分母の±0ってなんですか

回答No.1

alice_44

不定形ではないから、特に何の工夫も要らない。
(3√3)/(+0) の発散の種類は？