数学3 極限値の計算

質問

極限値の計算をするときに、

lim(x → a){f(x)+g(x)} = lim(x → a) f(x) + lim(x → a) g(x)

といったように、原理的には、多項式を単項式に分解してそれぞれにlimを分配したような形にして計算しますよね。

そのときに、lim(x → ∞) {√(x^2+3) - x }　のような問題の、ルートの中身を計算出来るのはなぜですか。 もちろん、直感的には自然なことだとは思うのですが、教科書にあるような極限値の性質に従って各項にlimを分配しようと考えたらよくわからなくなりました。

また、極限値の計算というのは、普段は途中経過を省略して計算しますが、原理的にはどこまで分解して計算しているのでしょうか。

lim(x → a) 1/x^2　でしたら、

lim(x → a) 1/x^2 = lim(x → a) 1 / { lim(x → a) x * lim(x → a) x }

まで分解して計算していることになっているのでしょうか。

わかってないことだらけですが、よろしくお願いいたします。

回答No.2

alice_44

lim(x→∞){√(x^2+3) - x} = lim(x→∞)√(x^2+3) - lim(x→∞)x = ∞ - ∞ = わからん.
この問題では、lim を分配してしまうと、答えが求まりません。∞ - ∞ の値は、不定です。
だから、他の工夫をする。分子の有理化が普通かな。

lim が収束しないときも、+∞ 発散や -∞ 発散には、収束と一部似た性質があって、
lim(x→∞){1/x^2} = 1/{lim(x→∞)x}^2 = 1/∞^2 = 0 のように計算できる場合もあります。
振動する lim とは、ちょっと違うんですね。

しかし、発散は発散なので、いつでも計算が進められるとは限らない。
途中、∞ - ∞ のような値が定まらないもの、いわゆる不定形を避けて計算する必要があります。

加減乗除において、

有限値 + (+∞) = (+∞)
有限値 + (-∞) = (-∞)
(+∞) + (+∞) = (+∞)
(-∞) + (-∞) = (-∞)
(+∞) + (-∞) = 不定

正有限値 × (+∞) = (+∞)
負有限値 × (+∞) = (-∞)
0 × (+∞) = 不定
(+∞) × (+∞) = (+∞)

有限値 / (+∞) = 0
(+∞) / (+∞) = 不定

上記を使って、例えば ∞ - ∞ は、
(+∞) + (-1)(+∞) = (+∞) + (-∞) = 不定
だから、避けて通らねばならない式形です。

上手に不定形を回避して、楽しく計算してください。

補足

いつも丁寧なご回答をくださり、ありがとうございます。

すみません、冗長になってしまうと思い、質問を簡略化してしまったので質問がうまくできていませんでした。

lim(x -> -∞) { √(x^2 + 8x - 1) - √(x^2 - 3) }

= lim(x -> -∞) { √(x^2 + 8x - 1) - √(x^2 - 3) ・ √(x^2 + 8x - 1) + √(x^2 - 3) / √(x^2 + 8x - 1) + √(x^2 - 3) }

= lim(x -> -∞) { (8 + 2/x) / - ( √(1 + 8/x - 1/x^2) + √(1 - 3/x^2) ) }　・・・(※)

=　-4

という計算において、なぜ最後　√(1 + 8/x - 1/x^2) や √(1 - 3/x^2) の根号の中の極限値を求めることができるのかという質問でした。

その後色々調べたりして、数列の極限の例ですが、参考書に以下のような表記があるのを見つけました。

"
lim (n -> ∞) 1/n^2 = 0、lim (n -> ∞) 1/n^3 = 0,　・・・
や
lim (n -> ∞) 1/√n = 0 , lim (n -> ∞) 1/n^(1/3) = 0, ・・・

これらは、最も基礎となる式
lim (n -> ∞) 1/n = 0

から論理的に導きだすことができるが、高校数学ではこれらを正しい事態として納得するだけで十分。"

この説明を受けて、まぁlim(n -> -∞) { √(1 + 8/x - 1/x^2) }　も普通に計算して良いのだなと納得したのですが、そういった理解で大丈夫ですかね？

また、先程ふと思い立ってwolfram alpha で計算したところ、上記(※)部分に該当するところの計算で

lim(n -> -∞) { √(1 + 8/x - 1/x^2 } から　√lim(n -> -∞) (1 + 8/x - 1/x^2)

(
実際にはwolframでは x^2をくくりださず
Using the power law, write lim(n -> -∞) { √(-1 + 8x + x^2) } as { √lim(n -> -∞) (-1 + 8x + x^2) }
)

というような変形をしていました。このとき、Using the power law と表記されているので、べき乗則なるものを使うと根号の中にlimを入れることができると思ったのですが、調べてもよくわかりません。

と、いろいろなことを書いたものの、教科書、参考書には、極限値の計算には直感的なグラフを使った説明のようなものしかないし、そうなるのが自然ですよね的なノリなので、まぁ、そんなものなのだと納得した次第です。

とりとめのない補足質問で申し訳ございませんが、私の数学に於ける視野はものすごく狭いと思うので、もしよろしければ何か一言でも頂けると幸いです。

一応のために、以下が使用したリンクです。
http://www.wolframalpha.com/input/?i=lim%28x+-%3E+-∞%29+%7B√%28x%5E2+%2B+8x+-+1%29+-+√%28x%5E2+-+3%29%7D

http://www4c.wolframalpha.com/Calculate/MSP/MSP15641h3ba06f7abb702700005e1b862f900ddh2h?MSPStoreType=image/png&s=53&w=572&h=3070

回答No.1

naniwacchi

連投ですが、こちらも気になったので一言だけ。

＞lim(x → a){f(x)+g(x)} = lim(x → a) f(x) + lim(x → a) g(x)
＞といったように、原理的には、多項式を単項式に分解してそれぞれに
＞limを分配したような形にして計算しますよね。

この式が言えるときって、何か「条件」がありませんでしたか？
lim f(x)や lim g(x)の値がそれぞれ存在するとか、有限確定値をもつとか・・・

お礼

>この式が言えるときって、何か「条件」がありませんでしたか？

この式が言えるのは、有限確定の極限値が存在するときだけでしたね。
あれからいろいろと考えて、少しずつわかってきた感じが致します。

>連投ですが、こちらも気になったので一言だけ。
気にして下さってありがとうございます。ご回答いただけてとても嬉しいです。

感謝m(_ _)m