極限の計算です。

質問

初めまして。よろしくお願いいたします。

lim[x→a]{(xsin^2(a)-asin^2(x))/(x-a)｝ の極限値の計算です。

x-a=h とおいて計算をしようと思いましたが，上手くいきません。
よろしくご教示下さい。

回答No.12

naniwacchi

#11です。
「合成関数の微分」が使えないとのことでしたので。

(分子)
＝ ・・・
＝ (x-a)*sin^2(a)- a*{ sin^2(x)- sin^2(a) }
＝ (x-a)*sin^2(a)- a*{ sin(x)- sin(a) }{ sin(x)+ sin(a) }　←因数分解

この形にしておけば、合成関数の微分も使わずに求められます。
微分の定義を用いるその部分は考えてみてくださいね。

回答No.11

naniwacchi

おはようございます。
テクニカルになってしまいますが。

分子の間に、-a*sin^2(a)+ a*sin^2(a)を挟み込んで。
(分子)
＝ x*sin^2(a)- a*sin^2(a)+ a*sin^2(a)- a*sin^2(a)
＝ (x-a)*sin^2(a)- a*{ sin^2(x)- sin^2(a) }

分母で割り算をすると、前の項は sin^2(a)となり、
後ろの項は微分の定義式から x＝ aのときの (sin^2(x)) 'となります。

回答No.10

noname#159829

no. 4補足へ

そうですか。
合成関数の微分が使えないのですか。
まあたんなる２乗だから積の微分でもいいんですが、
少なくとも三角関数の微分は大丈夫なんですね。

二倍角の公式で以下のようにするといいでしょう。
lim[(sin(a+h))^2-(sin(a))^2]/h
=-lim[cos(2a+2h)-cos(2a)]/(2h)
s=2hなどとおいてs→0の極限で
=-cos'(2a)
=sin(2a)
(=2sinacosa)

回答No.9

noname#175206

すみません、#8です。やっぱり計算ミスです。

誤>=sin^2(a) + a*[lim[h→0]{(sin(a) + sin(a + h)}]*[lim[h→0]{(sin(a) - sin(a + h))/h｝]
誤>= sin^2(a) - 2asin(a)cos(a)　（∵lim[h→0]{(sin(a) - sin(a + h))/hはsin(a)の微分の定義）

　正負もあやふやになっております。orz

正>=sin^2(a) - a*[lim[h→0]{(sin(a) + sin(a + h)}]*[lim[h→0]{(sin(a + h) - sin(a))/h｝]
正>= sin^2(a) - 2asin(a)cos(a)　（∵lim[h→0]{(sin(a + h) - sin(a))/hはsin(a)の微分の定義）

　どうもすみません。

回答No.8

noname#175206

お礼、ありがとうございます。補足、承りました。おバカの#3, #5です。

>２項目が -asin^2(x) が -asin^2(a) となっているところが分かりません。

　にゃはは、大間違いですから、あまり虐めてくださいますな。コピペミスです。次から、突然-asin^2(x)に戻ったりしています。

　教科書を読み直すと、lim{f(x)/g(x)}≠lim{f(x)}/lim{g(x)}だと戒めがありました（←公式集頼りのツケがorz）。

　もとい。ロピタルが御法度だと、やはりx - a = hですか。計算間違い多いけど、私でできるかな？
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　とりあえず、x - a = hと置き替え、x = a + hとして代入していきます（実は、a = x - hともしてしまい、またもや罠にハマって書き直しです^^;）。

lim[x→a]{(xsin^2(a) - asin^2(x))/(x-a)｝
= lim[h→0]{((a + h)sin^2(a) - asin^2(a + h))/h｝　←x = a + hを適用
= lim[h→0]{(asin^2(a) + hsin^2(x - h) - asin^2(a + h))/h｝　←カッコを展開
= sin^2(a) + lim[h→0]{a(sin^2(a) - sin^2(a + h))/h｝　←sin^2の微分は嫌いなので粘る
= sin^2(a) + lim[h→0]{a((1 - cos(2a))/2 - (1 - cos(2(a + h)))/2h｝　←倍角の公式＆hとxが外れたものは出す
= sin^2(a) + lim[h→0]{a((1 - cos(2a))/2 - (1 - cos(2(a + h))/2)/h｝　←1は消そう
= sin^2(a) + (a/2)lim[h→0]{(cos(2(a + h)) - cos(2a))/h｝　←微分の定義になった！
= sin^2(a) - (a/2)(-2sin(2a))　←dcos(2a)/da = -2sin(2a)とやっぱり公式集頼り
= sin^2(a) - asin(2a))

　これはこれで、f(g(x))の微分ですね。まずいでしょうか。
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　うーん、でもロピタルの定理から出てくる方と式の形が違う。

sin(a)(sin(a) - 2acos(a))
= sin^2(a) - 2asin(a)cos(a)
= sin^2(a) - 2a(sin(a + a) + sin(a - a))/2
= sin^2(a) - asin(2a)

　おお、どうやら同じのようです。
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　念のためにsin^2からも。

sin^2(a) + lim[h→0]{a(sin^2(a) - sin^2(a + h))/h｝
=sin^2(a) - 2acos(a)

　あ……、こっちのほうが簡単じゃないか！　でも、d(fg)/dxは駄目ですか。

　どれかを証明して使うしかないんでしょうか。うーん……。
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　いや待てしばし。

sin^2(a) + lim[h→0]{a(sin^2(a) - sin^2(a + h))/h｝
=sin^2(a) + a*lim[h→0]{(sin(a) + sin(a + h)(sin(a) - sin(a + h))/h｝
=sin^2(a) + a*lim[h→0]{(sin(a) + sin(a + h)}{(sin(a) - sin(a + h))/h｝
=sin^2(a) + a*[lim[h→0]{(sin(a) + sin(a + h)}]*[lim[h→0]{(sin(a) - sin(a + h))/h｝]
= sin^2(a) - 2asin(a)cos(a)　（∵lim[h→0]{(sin(a) - sin(a + h))/hはsin(a)の微分の定義）

　こんな感じでしょうか。これは極限の計算で掟破りではなかったと思うんですが（いろいろ忘れていて自信がないorz）。合成関数の微分とかでもないはず。

　検算、お願いします。m(_ _)m

回答No.7

アウストラロ ピテクス（@ngkdddjkk）

ちょい間違い。途中から、

= lim[h→0]{sin^2(a)-[a(2sin(a)cos(a)h+2(cos^2(a)-sin^2(a))h^2/2!+O(h^3))/h]｝
= lim[h→0]{sin^2(a)-[2asin(a)cos(a)+a(cos^2(a)-sin^2(a))h+(O(h^3)/h)]}
= sin^2(a)-2asin(a)cos(a)
= sin(a){sin(a)-2acos(a)}

回答No.6

アウストラロ ピテクス（@ngkdddjkk）

lim[x→a]{(xsin^2(a)-asin^2(x))/(x-a)｝
= lim[x→a]{sin^2(a)+a(sin^2(a)-sin^2(x))/(x-a)｝

テイラー展開をすると、
sin^2(a+h)=sin^2(a)+2sin(a)cos(a)h+2(cos^2(a)-sin^2(a))h^2/2!+O(h^3)
x-a=hとおくと、
= lim[h→0]{sin^2(a)+a(2sin(a)cos(a)h+2(cos^2(a)-sin^2(a))h^2/2!+O(h^3))/h｝
= lim[h→0]{sin^2(a)+2asin(a)cos(a)+a(cos^2(a)-sin^2(a))h+(O(h^3)/h)}
= sin^2(a)+2asin(a)cos(a)
= sin(a){sin(a)+2acos(a)}

回答No.5

noname#175206

#3です。

　うわー、駄目だ。エクセルでシミュレーションしたら答えが全然違うみたいです。

　やっぱ駄目じゃん、と思ったら、おお、0/0型でロピタルの定理が使えるんですか（←サッパリ忘れていたことを隠そうとしている）。

　毎度毎度、済みません。m(_ _)m

お礼

ありがとうございました。
ロピタルの定理を使って答えは出ているのですが，ロピタルの定理を使わずに導こうとして，はまってしまいました。

回答No.4

noname#159810

h=x-aとおいた計算の続きは：
f(x)=sin^2(x)
とすると式は
((a+h)f(a)-af(a+h))/h
=-a(f(a+h)-f(a))/h +f(a)
(f(a+h)-f(a))/hのh→0の極限は（fがaで微分可能なら）f '(a)。
f(x)=(sinx)^2、f(x)=sin(sin(x))のどちらでも計算できます。

補足

ありがとうございます。
f(x) = {sin(x)}^2　とおけばシンプルな表記になりますね。

この場合，f'(a) は，
　f'(x) = 2sin(x)*(sin(x))' = 2sin(x)cos(x)
より，
　f'(a) = 2sin(a)cos(a)
と求めるのでしょうか？

教科書の順番でいくと合成関数の微分が出てくる前の問題なので，
f'(a) の計算を上記のようにやってしまうと，怒られそうです。

回答No.3

noname#175206

分かればいい主義者なので、物凄くぞんざいです。すみません。sin^2(x)は、(sin(x))^2だと思っています（sin(sin(x))だと手も足も出ません）。

　分子を変形します。

xsin^2(a) - asin^2(x)
= x(1 - cos^2(a)) -asin^2(a)
= x - xcos^2(a) - asin^2(x)
= x - xcos^2(a) - asin^2(x)
= x - (xcos^2(a) - asin^2(x))

　この第2項目だけ、先に極限を取ります。

lim[x→a](xcos^2(a) + asin^2(x))
= acos^2(a) + asin^2(a)
= a

　これらの結果を元の式に戻します。

lim[x→a]{(x - a)/(x - a)}
= 1

（うーん、大丈夫なのかなあ……）

お礼

ありがとうございます。
表記がややこしくて済みません。仰る通り
　sin^2(x )= {sin(x)}^2
のつもりでした。

xsin^2(a) - asin^2(x)
= x(1 - cos^2(a)) -asin^2(a)　についてですが，
１項目は　sin^2(a) = 1-cos^2(a) を代入したものと思いますが，
２項目が -asin^2(x) が -asin^2(a) となっているところが分かりません。

補足

色々な微分の方法が出てくる前の問題なので，うまく変形して
　lim[h→0] {sin(h)/h} = 1
を使えるように変形するのかと思ってはまり込んでいました。