極限

質問

limx/x²-1［x→1+0］とlimx/x²-1［x→1-0］の解き方を教えて下さい。
どうやって考えたらいいかわからず困っています。宜しくお願いします。

回答No.1

private3int · ベストアンサー

[x→1+0]の式は、+∞
[x→1-0]の式は、-∞

[x→1+0]は、xが+側から1に近づくけど、1にはならない。1よりは大きいのである。
このとき、x^2 - 1 > 0 ですよ。
[x→1-0]は、xが-側から1に近づくけど、1にはならない。1よりは小さいのである。
このとき、x^2 - 1 < 0 ですよ。

2パターンとも、分母は0に近づくことをふまえて、考えればOK。この部分の考え方は教科書等を参照してください。

ちなみに、グラフ描画ソフトで関数のグラフを書いてみると、一目瞭然。

お礼

最初に解答をいただいたのでベストアンサーにさせていただきました(^^)v
分かりやすい解説ありがとうございました。

回答No.4

misumiss

2つ質問がありますが, すでに回答が出ているので, "x → 1 + 0 のとき, x/(x^2 - 1) → + ∞," だけ扱います。
これは, "任意の正数 K に対して, 正数 δ を適当に取れば, 0 ＜ x - 1 ＜ δ を満たす任意の x に対して, K ＜ x/(x^2 - 1) が成り立つ," ということです。
0 ＜ x - 1 ＜ δ からスタートして, 0 ＜ x^2 - 1 ＜ 2δ + δ^2 にたどり着けるでしょうか。
これをクリアできれば, 1/(2δ + δ^2) ＜ 1/(x^2 - 1) となることは, 明らかですね。
この不等式と, 1 ＜ x であることから, 1/(2δ + δ^2) ＜ x/(x^2 - 1) が得られます。
よって, K ＜ x/(x^2 - 1) が成り立つためには, K ≦ 1/(2δ + δ^2) であればよい。
これを δ に関する不等式として解くと, (0 ＜) δ ≦ (√(1 + 1/K)) - 1 となります。
よって, 例えば δ = (√(1 + 1/K)) - 1 と取れば, "0 ＜ x - 1 ＜ δ を満たす任意の x に対して, K ＜ x/(x^2 - 1)," が成り立ちます。
これで, "x → 1 + 0 のとき, x/(x^2 - 1) → + ∞," であることが証明されました。

極限について考えるとき, 近似という考え方を取り入れるのは, ある程度慣れてからのほうがいいと思います。
正数 h が 0 に近い値のとき, { (1 + h)/(2 + h) } * (1/h) ≒ 1/(2h) という近似式を, 否定はしませんけれど。
ただ, { (1 + h)/(2 + h) } * (1/h) ＞ 1/(2h) という大小関係は, 強く意識しておく必要があります。
また, 近似を濫用して癖になると, "h が 0 に近い値のとき, 1 + h ≒ 1 であるから, (1 + h)^(1/h) ≒ 1^(1/h) = 1," などとやりかねません。
その結果, "h → 0 のとき, (1 + h)^(1/h) → 1," などとやれば, e = 1 という, とんでもない結論を導いてしまいます。
ε-δ などで極限を考えるとき, 使うのは基本的に不等式であって, きちんとした理解を伴わずに近似式を用いるのは控えるのが無難でしょう。

お礼

分かりやすい解説ありがとうございました。

回答No.3

ereserve67

ANo.2です．1か所タイプミスがありました．

>x→1+0のとき1/(x-1)→1/(-0)=-∞

符号+を-に訂正します：「x→1-0のとき1/(x-1)→1/(-0)=-∞」

※ｆ(x)=x/(x^2-1)=x/{(x-1)(x+1)}={x/(x+1)}{1/(x-1)}においてx-1=h≠0とおくと

f(x)=f(1+h)={(1+h)/(2+h)}{1/h}≒1/(2h)

これはx→1±0⇔h→±0のとき±∞になる．直感的にはこのように考えるといいと思います．

お礼

ありがとうございました。

回答No.2

ereserve67

極限をとる関数は

x/(x^2-1)=x/{(x-1)(x+1)}={x/(x+1)}{1/(x-1)}

とします．左の{}はx→1±0いずれの場合も1/2に近づきます．右の{}については

x→1+0のとき1/(x-1)→1/+0=+∞

x→1+0のとき1/(x-1)→1/(-0)=-∞

よってこれらに1/2をかけても極限は変わらず，

lim_{x→1+0}x/(x^2-1)=+∞

lim_{x→1-0}x/(x^2-1)=-∞

となります．

グラフで確認してください．

お礼

分かりやすい解説ありがとうございました。わざわざグラフまで書いていただきありがとうございました。