カノニカル集団とミクロカノニカル集団の構造関数

質問

カノニカル集団とミクロカノニカル集団の構造関数が

Z(β)＝∫dzexp(-βE)＝∫〔0～∞〕dEexp(-βE)Ω(E)

で関係付けられることを示したいのですが、

１＝∫〔0～∞〕dEδ(E-H)

を何処かで用いて解く、としか分かりません。
　誠に恐縮ですが、どなたか御回答を宜しく御願い申し上げます。

回答No.3

motsuan · ベストアンサー

Z(β)＝∫dzexp(-βE)ではなくて
Z(β)＝∫dpdq exp(-βH(p,q)) (定義）
のようなイメージではないでしょうか？
そうすれば、１＝∫〔0～∞〕dEδ(E-H) の
両辺にZ(β)をかけて、定義を代入すれば
Z(β)＝∫〔0～∞〕dEexp(-βE)Ω(E)
が得られます。問題の意図は
exp(-βE)/Z(β)が一つの(p,q)が
エネルギーEのときにとる確率で、
系のエネルギーがEである確率は
H(p,q)=Eを満たす(p,q)となる状態の数が
∫dpdqδ(E-H)＝Ω(E)なので
exp(-βE)Ω(E)/Z(β)となる。
ということを知って欲しいということだと思います。

dEδ(E-H)はその意味で、測度dHから
測度dEへの写像で、∫〔0～∞〕dEδ(E-H)=1は
その重ね合わせでどんなdHのときも
1を与えるよという測度dHから実数への関数です。
dH = dpdq exp(-βH(p,q))は確率変数Hの測度を
点(p,q)の測度dpdqで表したものではないでしょうか？
よって、
dpdq→dH→dE
という写像を引き戻して積分を実行し
確率の総和（あるいは確率の分配を）表している。

ちがうかな？

お礼

御回答どうもありがとう御座いました。
無事解決致しました。

回答No.2

grothendieck

twelve12oclockさん、こんにちは。f(l)はZ(β)の中で、Ω(E)にかかる重み、すなわちエネルギーEの各微視的状態が実現する確率です。等重率の仮定により、系全体(熱浴と、考えている部分を合わせたもの)の各微視的状態は等しい確率になりますが、考えている部分だけを取り出すと、これがあるエネルギーの状態になる確率はエネルギーの関数になります。系全体のエネルギーEtが与えられているとし、考えている系がエネルギーEl付近の幅δEの中にあるエネルギーを持つ状態になる確率を求めましょう。このとき熱浴がとり得る状態の数はΩ(Et - El)だから、求める確率は
　Ω(Et - El)Ω(El)δE /Ω(Et)
となります。このΩ(Et - El)/Ω(Et) がf(l)です。

お礼

御回答どうもありがとう御座いました。
無事解決致しました。

回答No.1

grothendieck

考える系と熱浴の全エネルギーをEt、考える系の量子状態lのエネルギーをElとすれば、lの実現確率はΩ(Et-El)に比例するから
　f(l) ∝ Ω(Et - El)/Ω(Et)
ここでエントロピーの定義からΩ(E) =exp(S/k)とすると
　 f(l) ∝ exp[{S(Et - El) - S(El)}/k]
するとEt≫Elだから
　S(Et - El) - S(El) = -El∂S/∂E = -El/T
よって　
　　 f(l) ∝ exp( -El/kT)
より
　Z(β)＝∫〔0～∞〕dEexp(-βE)Ω(E)
となります。なおZ(β)、Ω(E)は構造関数とはあまり言わないように思います。

補足

御回答どうもありがとう御座います。回答を頂いての質問がありましたので、御覧になって下さい。

　(1)　f(l)は何を表しているのですか？
　(2)　1＝∫〔0～∞〕dEδ(E-H)は何処で用いるのですか？

　誠に恐縮ですが、御回答宜しく御願い致します。