熱物理学で調和振動子の平均エネルギーU＝<ε>について。

質問

熱物理学で調和振動子の平均エネルギーU＝<ε>について。

U=hω/（exp(hω/τ)－１）はどうやって求めるのでしょうか？

解りません。調和振動子なので、縮退度は１、エネルギーE=(0,1,2,・・∞)分配関数Z=1/(1-exp(-hω/τ))ですよね？

回答No.2

aquarius_hiro · ベストアンサー

ANo.1さんのご回答で良いと思いますが、詳しく説明してみますね。

調和振動子のエネルギーは普通は、

ε(n) = hω ( n + 1/2 )

ですが、結果の式から逆算して、零点振動のエネルギー hω/2 を考えないことにしているみたいですね。そこで、

ε(n) = hω n

で考えます。（n = 0,1,2,… ∞、h は hバーの意味）

正準分布で、その実現確率 p(ε) は、

p(ε) = e^{-ε/τ}/Z = e^{-βε}/Z

になります。β=1/τ=1/(k_B T)

Z = Σ_{n=0}^{∞} e^{-ε(n)/τ}
= 1/(1 - exp(-hω/τ)) = 1/(1-exp(-βhω))

は分配関数です。

調和振動子の平均エネルギーは、

U = <ε> = Σ_{n=0}^{∞} ε(n) p(ε(n))

となるのは良いですね。確率と期待値の関係です。

正準分布の確率の式を代入すると、

U = (1/Z) Σ_{n=0}^{∞} ε(n) exp(-βε(n))
　= - (1/Z) ∂/∂β [Σ_{n=0}^{∞} exp(-βε(n))]
　= - (1/Z) ∂Z/∂β
　= - ∂(log Z)/∂β

と書けます。これがANo.1さんのご回答にある式です。
よく使う式なので覚えておくとよいです。

そして具体的に代入してみると、

U = ∂/∂β log(1-exp(-βhω))
　= +hω exp(-βhω)/(1-exp(-βhω))
　= hω/(exp(-βhω)-1)

と求まります。

お礼

わかりやすい説明ありがとうございました。

回答No.3

aquarius_hiro

ANo.2です。

最後のところ、

U = hω/(exp(-βhω)-1)

がミスプリで、正しくは、

U = hω/(exp(βhω)-1)

です。わかると思いますが念のため。

回答No.1

sacana

平均エネルギーの式

＜Ｅ＞　＝　－d/dβ(logZ)　　　（β＝　1/τ）

で出ると思います。