tanの逆関数を対数で表す問題

質問

例えばarcsinの逆関数場合
ω = arcsinz とおけば、
z = sinω であり、オイラーの公式より、
z = {e^(iω) - e^(-iω)}/2i　… (1)
これを変形して
{e^(iω)}^2 - 2iz{e^(iω)} - 1 = 0
この方程式を解いて
e^(iω) = iz ± √(1-z^2)
指数関数と対数関数の関係より、
ω = arcsinz = 1/i*log{iz ± √(1-z^2)}
と表すというもので、
arccosの場合もω = arccoszとすれば
z = {e^(iω) + e^(-iω)}/2　… (2)
これを用いて同様に計算を行うと
ω = arccosz = 1/i*log{z ± i√(1-z^2)}
となると参考書に書いてありました。
ここでarctanに関してなのですが、三角関数の公式
tan = sin/cos　… (3)
(3)に(1), (2)にを代入して、
z = tanω = [{e^(iω) - e^(-iω)}/2i] / [{e^(iω) + e^(-iω)}/2]
　　　 = (1/i) * [{e^(iω) - e^(-iω)} / {e^(iω) + e^(-iω)}]　… (4)
となると思うのですが、
この(4)式を用いてarcsinω、arccosωと同様にarctanωを求めたいのですがうまくいきません。
(4)式をe^(iω)について解くにはどのように変形すればいいのでしょうか。
もしくはこの方法自体が間違っているのでしょうか。

長々とすみません。
どなたか分かる方がいればアドバイスなどよろしくお願いします。

回答No.2

Tacosan · ベストアンサー

普通に考えれば #1 でいわれる通りの方法でしょうが, やっていくとわかるように e^(iω) ではなく e^(2iω) を求めるのがきっと賢い.
別法:
z = tan ω とすると 1+z^2 = 1/cos^2 ω, つまり
cos^2 ω = 1/(1+z^2). ここから sin^2 ω = z^2/(1+z^2), sin ω cos ω = z/(1+z^2). したがって
e^(2iω) = [(1-z^2) + 2iz]/(1+z^2) なので
ω = (1/2i)log([(1-z^2) + 2iz]/(1+z^2)).

お礼

なるほど、あの関係式を使えばよかったのですか…
三角関数の重要な公式なのに失念しておりました。
うまくまとまる解法ですね。
わかりやすい回答ありがとうございました！

回答No.1

proto

どううまくいかないのでしょうか？
両辺にi*(e^(iw)+e^(-iw))を掛けて分母を払ってから、さらに両辺にe^(iw)を掛ければ、e^(iw)についての2次方程式になります。
はっきり言って、sinやcosの場合より簡単かも。

お礼

説明不足ですみません。
僕もprotoさんが言われているように式を変形してみて、

(iz-1){e^(iω)}^2 + iz + 1 = 0

というふうになり、
これを解の公式または因数分解で解けばいいということだと思ったのですが、
なにやらうまい値がでてこなくて、質問してしまいました。
今から再度やってみます。
ありがとうございました！