N個の１次元調和振動子の系の構造関数の変数変換

質問

N個の１次元調和振動子のハミルトニアンHは

H＝Σ〔i=1～N〕｛p〔i〕^2／2m＋m(ω^2)(q〔i〕^2)／2｝

の時、系の構造関数が次式の形に書き表されることを示そうと思っています。

Ω（E）＝∫(d^N)q(d^N)pδ(E-H)
　　　＝｛(2mE)^(N／2)／E｝［2E／｛m(ω)^2｝］∫(d^2N)zδ｛１－Σ〔i=1～2N〕(z〔i〕^2)｝

ですが、

　変数変換：（i＝1,・・・,N）
z〔i〕＝p〔i〕^2／｛(2mE)^(1/2)｝、
z〔i+1〕＝q〔i〕／［｛m(ω)^2／2mE｝^(1/2)］

を何処かで用いるとしか分かりません。
　誠に恐縮ですがどなたか御回答を宜しく御願い申し上げます。

回答No.1

grothendieck · ベストアンサー

まず、ご質問の式を
Ω（E）=∫(d^N)q(d^N)pδ(E-H)
　　　=｛(2mE)^(N／2)／E｝(2E/mω^2)^(N／2)
　　×∫(d^2N)zδ｛１－Σ〔i=1～2N〕(z〔i〕^2)｝

z〔i〕＝p〔i〕／(2mE)^(1/2)、
z〔i+N〕＝q〔i〕／(2E/mω^2)^(1/2)

と直す必要があると思います。すると

Ω（E) =｛(2mE)^(N／2)｝(2E/mω^2)^(N／2)
　　×∫(d^2N)zδ{E(１－Σ[i=1～2N]z〔i〕^2)｝

次にaを定数としたとき
　δ(az) = δ(z)/|a|
という公式より
Ω（E) =｛(2mE)^(N／2)／E｝(2E/mω^2)^(N／2)
　　×∫(d^2N)zδ{１－Σ[i=1～2N]z〔i〕^2｝

お礼

御回答どうもありがとう御座いました。
無事解決致しました。

補足

御回答どうもありがとう御座います。回答を拝見させて頂いての質問がありますので、御覧になって下さい。

＞ご質問の式を～と直す必要があると思います。

　式を直す際に何故『z〔i+1〕』→『z〔i+N〕』とする必要があるのですか？

　誠に恐縮ですが、御回答を宜しく御願い致します。

回答No.2

grothendieck

z〔i〕＝p〔i〕 …
z〔i+1〕＝q〔i〕…
とすると例えばz[2]については

z〔2〕＝p〔2〕 …
z〔2〕＝q〔1〕…

という二つの式があり、z[2]がどちらで定義されているのか分からなくなるからです。zの番号の付け方は必ずしも私が書いたものにする必要はありませんが、p, qとzは一対一に対応させる必要がああります。

補足

御回答どうもありがとう御座いました。
無事解決致しました。