複素関数の留数を求める問題について。

質問

次の関数の特異点における留数を求める問題がよくわかりません。

e^z/z^4(z-1)

(e^z-1)/sinz

e^z/z^4(z-1)については、留数は29/6(z=0),e(z=1)と出たのですが、自信がないです。
(e^z-1)/sinzについては、ローラン展開をしても整理がつかず、1/zの係数を求めることができませんでした。勉強不足で恐縮ですが解法を教えていただけると助かります。お願いします。

回答No.1

info22_ · ベストアンサー

>e^z/((z^4)(z-1))については、留数は29/6(z=0),e(z=1)と出たのですが、自信がないです。
Res(0)=-8/3, Res(1)=eですので、後者だけ合っています。
g(z)=e^z/(z-1)をz=0でローラン展開（マクローリン展開と同じ）すると
g(z)=-1-2z-(5z^2)/2-(8z^3)/3-(65z^4)/24+o(z^5)
f(z)=e^z/((z^4)(z-1))=g(z)/z^4=-1/z^4 -2/z^3 -(5/2)/z^2 -(8/3)/z-(65/24)+o(z^1)
なので前半の留数は1/zの係数の「-8/3」となります。

>(e^z-1)/sinz
特異点はsin(z)=sin(x+iy)=sin(x)cosh(y)+i*cos(x)sinh(y)=0から
sin(x)cosh(y)=cos(x)sinh(y)=0…(1)を満たすx,yを求めれば特異点はz=x+iyとして得られる。
ただし、(e^z)-1=e^(x+iy)-1=0 …(2)となるzは除く。

sin(x)cosh(y)=cos(x)sinh(y)=0を解くと
cosh(y)>0なのでsin(x)=0 …(3)
sin(x)=0を満たすxに対してcos(x)≠0なのでsinh(y)=0 ∴y=0
(3)から x=nπ(nは任意の整数)
∴z=x+iy=nπ(n=任意の整数、全て1位)　…(4)
(4)を満たすzで(2)に該当するzは　z=x+iy=0+i0=0のみなのでこれを除外します。
したがって
「(e^z-1)/sinz」の特異点は　z=nπ(n≠0,全て1位の特異点）
となります。

お礼

e^z/(z^4)(z-1) のローラン展開は、e^z と 1/(z-1) のテイラー展開をかけあわせたものに 1/z^4 をかければいいんですね。ここから 1/z の項を選べばいいわけですね。

(e^z-1)/sinz の特異点を求めるための丁寧な解法、ありがとうございます。留数も求めることができました。