2次元自由電子の状態密度関数

質問

Z(E)；状態密度関数とすると、3次元自由電子の場合、
Z(E)dE＝(2m)^(3/2)×E^(1/2)÷（2×π×π×a×a×a）　ただしa＝h/(2π)
となりますが、2次元自由電子の状態密度関数はどうなるのでしょうか？

回答No.4

siegmund · ベストアンサー

> No.2 補足の2行目より
> 面積V(=L^2)においてエネルギーEとE+dEをもつ状態の数は 2×πkdk/vk=k(L^2)dk/2π
> ↑この2がスピン数ではないのでしょうか？

フォントやブラウザー設定によって↑の位置が違って表示されるのですが，
頭の２のことのようですね．
これはスピンから来る２ではありません．

今，２次元ですから，波数が k から k+dk の間の面積は 2πk dk です．
長さ 2πk (つまり円周の長さ)で，幅 dk の面積と考えればＯＫです．
外側をとれば 2π(k+dk) じゃないかって？
そりゃそうですが，幅の dk を掛けるのですから，
dk の１次までの精度では 2πk でも 2π(k+dk) でも同じことです．

３次元の場合は，球の表面積 4πk^2 に「球殻の厚さ」dk を掛けて
4πk^2 dk ですね．

どうしても納得が行かなければ，円環の面積
π(k+dk)^2 - πk^2 = 2πk dk + (dk)^2
を直接求めてみてもよいでしょう．
ただし，これは円の面積がよく知られているからできるのであって，
いつの場合でもこのようにできるわけではありません．
私としては，前の方の考え方に慣れるようにおすすめします．

というわけで，No.2 の補足の secret-goo さんの計算は１スピンあたりになっています．

> 別に回答に文句を言っているわけではなく、
> 単に私が勉強不足なものでよく分かっていないのです。
> ご気分を損ねましたら本当にスイマセン。

たぶん，どの回答者にとっても回答が読まれて役に立つのは最大の喜びだと思います．
secret-goo さんは回答を読まれて，
さらに自分で考えておられることがよく伝わってきます．
気分を損ねるどころか，「あ，ちゃんと読んでくれたな」というのが私の感想です．

お礼

そうか、そういうことだったんですか。
ようやく理解できることができました。
本当にありがとうございました。

回答No.3

siegmund

No.2 の補足に書かれた計算で合っていると思います．
ただし，これは１スピンあたりですね．
電子スピンから来る因子２を入れるなら，この２倍になります．

secret-goo さんが質問と No.1 補足に書かれた３次元の場合の式は
電子スピンの分を含んでいます．
状態密度は電子スピンの分を含んでいたり含んでいなかったり，
本によって違いますのでちょっと注意が必要です．

同じことを１次元についてやりますと
Z(E) = (1/πa) √(2m/E)
になります(電子スピンの分を含んでいます)．

secret-goo さんは式を大変注意深く書かれているので，
テキストファイルでも式の内容がよくわかります．

補足

No.2 補足の2行目より

面積V(=L^2)においてエネルギーEとE+dEをもつ状態の数は 2×πkdk/vk=k(L^2)dk/2π
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　↑この2がスピン数ではないのでしょうか？

別に回答に文句を言っているわけではなく、単に私が勉強不足なものでよく分かっていないのです。
ご気分を損ねましたら本当にスイマセン。

回答No.2

phbs

ki＝2π(ni)/Lと本来離散的な波数が
2(スピン数)×4π(k^2)dk/vk=4(L^3)(k^2)dk/(2π)^2
と連続的になってるじゃないですか。（そうじゃなきゃdkなんて書けない）
4πk^2dkというのが幾何学的にどんな意味を持つ量なのかを考えれば
それを2次元にしたときどうなるかもわかると思います。
＞1つの状態のしめるk空間の体積vk=(2π/L)^3
は2次元ではどうなるでしょう？体積というか面積ですが。

お礼

アドバイスのおかげで、解く方針がわかりました。
ありがとうございました。

補足

1つの状態のしめるk空間の面積は　vk=(2π/L)^2となり
面積V(=L^2)においてエネルギーEとE+dEをもつ状態の数は 2×πkdk/vk=k(L^2)dk/2π
したがって単位面積あたり
Z(E)dE=(1/V)×k(L^2)dk/2π=kdk/2π
E=a^2・k^2/2m　ただしa＝h/(2π)　より
kdk=mdE/(a^2)なので
Z(E)dE＝mdE/(2π・a^2)
これでいいのでしょうか？

回答No.1

phbs

3次元の場合波数kに対しての和を積分に変えて
Σ→V/(2π)^3 ∫d^3k
k
(Vは系の体積）状態密度を求めるんでしたね。2次元では
Σ→S/(2π)^2 ∫d^2k

として2次元極座標での積分に変えて求めます。答えはエネルギーに依存しない
一定値になるはずです。

補足

積分を使うんですか？
私が習ったのは下のような方法だったのですが、これの一部を変えてうまく2次元自由電子の状態密度関数を求めることはできないでしょうか？

自由空間を一辺Lの立方体(体積V=L^3)に分割して、波動関数にLの周期を与えると、
Ψn=(1/L)^(3/2)×e^(i(kx・x+ky・y+kz・z))となり
(上の式は周期境界条件や固有関数から出てきたのですが、いまいち分かっていません)
ki＝2π(ni)/L　ただしi=x,y,z
よって、1つの状態のしめるk空間の体積vk=(2π/L)^3
体積V(=L^3)においてエネルギーEとE+dEをもつ状態の数は
2(スピン数)×4π(k^2)dk/vk=4(L^3)(k^2)dk/(2π)^2
したがって単位面積あたり
Z(E)dE=(1/V)×4(L^3)(k^2)dk/(2π)^2=k^2dk/π^2
自由電子のエネルギーE=a^2・k^2/2m　ただしa＝h/(2π) 　をいれると
Z(E)dE＝(2m)^(3/2)×E^(1/2)÷（2×π×π×a×a×a）