平面上の3円が一点で交わる必要十分条件

質問

平面上の3直線を、
f_1(x,y)=a_1x+b_1y+c_1=0
f_2(x,y)=a_2x+b_2y+c_2=0
f_3(x,y)=a_3x+b_3y+c_3=0
とすると、それらが一点で交わる（すべてが平行になった場合、無限遠で交わるとする）必要十分条件は、
λ_1 f_1(x,y) + λ_2 f_2(x,y) + λ_3 f_3(x,y) =0
となる、λ_1、λ_2、λ_3が存在すること。いいかえれば、
行列式| (a_1 b_1 c_1) (a_2 b_2 c_2)　(a_3 b_3 c_3) |=0

では、平面上の3円を、
f_1(x,y)=x^2+y^2+a_1x+b_1y+c_1=0
f_2(x,y)=x^2+y^2+a_2x+b_2y+c_2=0
f_3(x,y)=x^2+y^2+a_3x+b_3y+c_3=0
とすると、それらが一点で交わる必要十分条件はどのように考えられるのでしょうか。

回答No.5

ferien

平面上の3円を、
f_1(x,y)=x^2+y^2+a_1x+b_1y+c_1=0
f_2(x,y)=x^2+y^2+a_2x+b_2y+c_2=0
f_3(x,y)=x^2+y^2+a_3x+b_3y+c_3=0
とすると、
＞それらが一点で交わる必要十分条件はどのように考えられるのでしょうか。

３つの円の交点から、それぞれの円の中心までの距離は、それぞれの円の半径に一致する。
（図を描いてみれば分かります。）
３つの円のうちの１つの円周上の１点と、３つの円の中心までの距離が、それぞれの半径に一致すれば、その１点は３つの円の交点である。
（この文章通りに作図すると、１点で交わります。）

この両方で、必要十分条件にならないでしょうか？

回答No.4

Tacosan

最初はそう思ったんだけど, 「3つの弦が 1点で交わる」ことと「3つの円が 1点で交わる」こととは全然違うんです＞#3.

「2つの弦の交点」が (どれかの) 円の上にあればいい... のかなぁ?

回答No.3

momordica

> #1さん
それは必要条件にしかなっていないと思いますが。
というか、３つの円のうちの任意の２円が共通弦をもつなら、その３本の弦は常に１点で交わります。
　g_1(x,y)-g_2(x,y)=0
　g_2(x,y)-g_3(x,y)=0
を両方満たす(x, y)は、当然
　g_3(x,y)-g_1(x,y)=0
も満たしますから。

回答No.2

alice_44

横から蛇足:
f_1(x,y)=0 が共通弦の式に
なるための条件も忘れずに。

回答No.1

info22_

紛らわしいので
3円を
g_1(x,y)=x^2+y^2+a_1x+b_1y+c_1=0
g_2(x,y)=x^2+y^2+a_2x+b_2y+c_2=0
g_3(x,y)=x^2+y^2+a_3x+b_3y+c_3=0
とすると
各２つの円の共通弦の直線の式は
f_1(x,y)=g_1(x,y)-g_2(x,y)=0
f_2(x,y)=g_2(x,y)-g_3(x,y)=0
f_3(x,y)=g_3(x,y)-g_1(x,y)=0
となります。
この３つの直線が1点で交わるための必要十分条件は既に求められているのではないのでしょうか？

お礼

ありがとうございます。
しかし、３つの円のうちの任意の２円が共通弦をもつなら、その３本の弦は常に１点で交わるようです。
f_1(x,y)+f_2(x,y)+f_3(x,y)=0なので。