二曲線が接するための必要十分条件

質問

二曲線f(x,y)=0,g(x,y)=0がx=aなる点で接するための必要十分条件はなんですか？

回答No.3

ramayana · ベストアンサー

ANo.1さんが指摘するように、「x=aなる点で接する」という表現は不正確です。そこで、「x=a、y=b なる点で接する」という意味に解釈することにします。当然、次のことが前提です。

（１）f、g ともに、x = a、y = b の近傍で定義されており、f(a,b) = g(a,b) = 0。

また、曲線とか接するとか言うときには、暗黙のうちに、ある程度の滑らかさが前提になっていると解されます。そこで、次のことも仮定します。

（２）x=a、y=bの近傍で、∂f(x,y)/∂x、∂f(x,y)/∂y、∂g(x,y)/∂x、∂g(x,y)/∂y が定義されており、かつ、これらの４つの偏導関数は、x=a、y=bの近傍で連続。

さらに、ややこしい状況を避けるため、次の仮定も置きます（注）。

（３）x=a、y=b において、∂f(x,y)/∂x と ∂f(x,y)/∂y の少なくとも一方は0でない。∂g(x,y)/∂x と ∂g(x,y)/∂y についても同様。

以上の（１）、（２）、（３）の前提の下で、二曲線 f(x,y) = 0, g(x,y) = 0 が x = a、y = b なる点で接するための必要十分条件は、

「適当な実数 k が存在して、∂g(x,y)/∂x = k∂f(x,y)/∂x、∂g(x,y)/∂y = k∂f(x,y)/∂y」

となることです。

（注）仮に、x=a、y=b において、∂f(x,y)/∂x = ∂f(x,y)/∂y = 0 だったとき、f(x,y) = 0 で定義される曲線は、自分と交わったり、折れ曲がったりしていることがあるので、話が複雑になります（添付図参照）。

回答No.2

alice_44

f(a,b) = g(a,b) = 0 となる b が存在し、なおかつ、
(x,y) = (a,b) において f(x,y) と g(x,y) をテイラー展開したときに
二次の項までが一致すること　…じゃないかな。

回答No.1

noname#171951

f(a,y)=g(a,y)=0の解は一つとは限りません。
あなたがいう「接する」とは、少なくとも一つの接点で接している
ことを言うのか、それともすべての接点で接していることを言う
のか、あるいはそのほかのことを言うのか、どれでしょう？

補足

点(a,b)で接しているときです。間違えました。