平面の方程式についての質問です

質問

問題：
２点A(2,1,-1),B(3,-1,2)を通り、直線(x-2)/3=(y+3)/-4=(z-1)/3に平行な平面の方程式を求めよ。

まず：A、B 2点を通りの直線はx-2/3-2 = y-1/-1-1 =z+1/2+1 により
( L＝1;M=-2;N=3　と　この直線の上の点（2,1,-1）を使って ）x-2+3z+3=0っていう平面の方程式を得る。
この方程式のベクトルは（1,-2,3）
直線(x-2)/3=(y+3)/-4=(z-1)/3の点（２、,－３，１）と先に得たベクトル（1,-2,3）を使って、求める平面の方程式は：
1(x-2)+(-2)(y+3)+3(z-1)=0

この解き方は間違ったと思うので、お願いします。

回答No.1

noname#47894 · ベストアンサー

確かに間違っているみたいですね。

質問中の方法だと、ＡＢに垂直な平面の方程式を出そうとしていることになります。

平面の法線ベクトルをｎとおくと、ｎ⊥ＡＢ、ｎ⊥（もらった直線）
なので、ここから、法線ベクトルを決定するのが良いのでは？

ｎ（ａ，ｂ，ｃ）とおき、
直線の方向ベクトルは（３、－４，３）
ＡＢベクトルは（１，－２，３）

なので、
３ａ－４ｂ＋３ｃ＝０
　ａ－２ｂ＋３ｃ＝０

よって、ａ：ｂ：ｃ＝３：３：１

ｎ＝（３，３，１）とすれば、後は解けますね？

お礼

一目瞭然、簡潔な解き方でございます。
本当に有難うございます。

回答No.4

Meowth

直線(x-2)/3=(y+3)/-4=(z-1)/3
の方向ベクトル
t=(3,-4,3)
２点A(2,1,-1),B(3,-1,2)
AB=（1,-2,3)
は平行でないので、平面は１つきまる。法線ベクトルnは
ｔ×AB=(-6,-6,-2)
に平行　n=(3,3,1)
求める式は
3x+3y+z=(3,3,1).(3,-1,2)＝8
3x+3y+z=8
または、
|x-3,y+1,z-2|
| 3, -4, 3|=0
| 1, -2, 3|
から
3x+3y+z=8
外積も行列式もいやなら、
t.n=(3,-4,3).(a,b,c)=0
AB.n=(1,-2,3).(a,b,c)=0
3a-4b+3c=0
a-2b+3c=0
a=3c
b=3c
n=(3,3,1)
3x+3y+z=(3,3,1).(3,-1,2)＝8
3x+3y+z=8

お礼

わかりやすい説明で、本当に有難うございます。

回答No.3

bibendumbibendum

1と2さんの回答で100％なんですが、平面の方程式の解法は決まったパターンでほぼ解けるのでそれを覚えましょう。
平面の方程式をax+by+cz+d=0とします。

方針：
最初に平面の法線ベクトルを求めて、面内の点からdを決定する。
方法：
1：題意より求める平面内のベクトルを２つ見つける。
2：下記の２つのベクトルに直行するベクトルを計算する方法によりベクトルをもとめる。これが平面の法線ベクトルになる。
3：面内を通る点からdを求める

２つのベクトル（a,b,c）と(u,v,w)に直行するベクトルは
(x,y,z)=（bw-cv,cu-aw,av-bu)である。この公式はむずかしいようですが
　　　 a　　　 b　　　 c 　　　a
　　　 u　　　v 　　　 w　　　 u
　　　　　 z　　　x 　　　 y
２つのベクトルを書いて、たすきがけにして引けばいいです。
気をつけることは、たすきがけにしてひいたものが、左から
（x,y,z)ではなく、ひとつずれることです。

これを使うと例えば三点A,B,Cをとおる面をもとめたいときは
ベクトルABとベクトルACを計算する。
魔法の公式により、法線ベクトルが計算できる。
点Aを値を代入して、dを求めておしまい。

お礼

書いていただいたものが、ちょっと難しいだと思うのに、理解できればこれからのベクトル問題に役に立つことになりますので、頑張ります。本当に有難うございます。

回答No.2

info22

間違っています。

僕のやり方は、まず、
直線(x-2)/3=(y+3)/(-4)=(z-1)/3
をパラメータ表示に変換して
(x,y,z)=(3t+2,-4t-3,3t+1 …(1)

次に、A(2,1,-1)を通り(1)に平行な直線を求める。
(x,y,z)=(3t+2,-4t+1,3t-1) …(2)

次にA(2,1,-1)とB(3,-1,2)を通る直線を求めます。
(x-2)/(3-2)=(y-1)/(-1-1)=(z+1)/(2+1) より
x-2=(y-1)/(-2)=(z+1)/3
パラメータ表示に変換して
(x,y,z)=(s+2,-2s+1,3s-1) …(3)
直線(2)と直線(3)は点A(2,1,-1)を共有することなる直線なので
これらの直線を含む平面は求める(1)に平行な平面になる。
従って平面の式は
(x,y,z)=(s+3t+2,-2s-4t+1,3s+3t-1)
これの式をx,y,xの方程式に変換すると
x=s+3t+2,y=-2s-4t+1から
s=-2x-(3/2)y+(11/2),t=x+(1/2)y-(5/2)
s,tを
z=3s+3t-1
に代入すれば
x,y,z座標による平面の方程式が得られます。

後は出来ますね。

[確認]＃１さんのA#1の結果と一致するか確認してみてください。

お礼

勉強不足でごめんなさい。本当に有難うございます。