微分積分問題の必要十分条件について

質問

a,b,cを定数とし、f(x)=∫[x,-1] at^2＋bt＋c dx　とおく。関数f(x)がx=1で極値4をとるという。
(1)　a,bをcを用いて表せ。
(2)　曲線y=f(x)上の点(-1,f(-1))におけるこの曲線の接線が点(0,8)を通るとき、定数a,b,cの値を求めよ。
(3)　(2)のとき、関数f(x)を求めよ。

解答(1)a=6-3c　　b=2c-6
　　　(2)a=3,b=-4,c=1
　　　(3)f(x)=x^3-2x^2＋x＋4

解答そのものに疑問はないのですが、(1)を求める際、a=6-3cは関数f(1)=4から導けるものとして、「f(x)が x=aで極値を取る⇒f'(a)=0」という必要条件のみを用いてf'(1)=0よりa＋b＋c=0を導き出し、b=2c-6という解答を出しているのですが、なぜ十分条件の確認なしでb=2c-6が答えとして決定できるのでしょうか？
また解答説明では十分条件の確認を(3)をとく時点でしています。(2)についてもも十分条件の確認は必要ではないのでしょうか？

回答No.1

koko_u_ · ベストアンサー

>「f(x)が x=aで極値を取る⇒f'(a)=0」という必要条件のみを用いて
> f'(1)=0よりa＋b＋c=0を導き出し、b=2c-6という解答を出しているのですが、
> なぜ十分条件の確認なしでb=2c-6が答えとして決定できるのでしょうか？

十分性の確認が必要だと私は思います。

試験の問題なので、(1)については「a, b が c を用いて表せるとすればどういう形か」を答えれば OK
という見解もあるかもしれませんが、数学の問題として考えた場合に、上記の解答で得られた結論は

「a, b, c に関係があるとすれば、その一つは a = 6 - 3c, b = 2c - 6」

だということだけです。

もしかすると、例えば c >= 0 という条件を満たさないと、f(x) が「実際には」極値を取らないという
可能性を排除できません。

お礼

ですよね…。出題は黄色チャートより広島工業大学なのであながち解答は間違ってはいないだろうと思ったんですが、納得できなかったのでお聞きしました。解答ありがとうございます。