必要十分条件

質問

写像
f:R^2→R^2,f(x,y)=(ax+by,cx+dy)
が逆写像を持つための必要十分条件を求めよ。
ただし、a,b,c,d∈Rとする。

逆写像って逆関数と同じことですよね？
値域と定義域などが関係してくるのでしょうか？

f^-1(x)の定義域はf(x)の値域、f^-1(x)の値域はf(x)の定義域
である。
↑こういうことが教科書に載っていたのですが関係あるのでしょうか？

よろしくお願い致します。

回答No.3

kabaokaba · ベストアンサー

>f^-1(x)の定義域はf(x)の値域、f^-1(x)の値域はf(x)の定義域
そういうことですが，逆写像があれば，
値域と定義域はただ取り替えるだけです．

問題そのものは単なる一次変換です．
したがってヒントは「行列式」です．
実際に，逆関数を計算する（連立方程式をとく）と
答えはすぐにわかります。

No.2さんの
>「あるものを別のものに対応づける」のが「写像」,
>「あるものから別のものを作る」のが「関数」かな?

は少なくとも数学の意味では違うのでご注意を．
写像も関数も，ある一つの対象を別の一つの対象に
対応づける規則のことで，同じようなものですが，
関数といった場合，値域が実数や複素数といった
何らかの数の（部分）集合となることを暗に示すことが多いです．
値域が数ベクトルの場合でも「ベクトル値関数」のような
表現をします．一方，写像といった場合は，
一般には値域は数の集合とは限りません．
文脈によって関数といったり写像といったりもします．
慣れというか習慣的な使い分けみたいな感じです．

なお，逆関数定理は
ある点の近傍で逆関数が存在するか否かを
決定つける定理で，確かにこの問題にも適用できますが，
道具としては大きすぎるでしょうし，
循環論法になる可能性もありますし，
何より出題の意図とはかけ離れてるでしょう．

お礼

回答ありがとうございます。
一次変換なんですね。

|a,b||x|
|c,d||y|
↑の逆行列？？

ちなみに
f(x,y)=(ax+by,cx+dy)
ってどういう意味なのでしょう？
たまにでてくるんですがよく分からないんです・・・。
f(x)=ax+by
f(y)=cx+dy
なんですか？
違いますよね・・・。
お時間ありましたら教えてください。

回答No.4

mangou-kutta

f:R^2→R^2;f(x,y)=(ax+by,cx+dy)
は
R^2→R^2の部分が2次元(平面上の点)から2次元(平面の点)へ写す写像であることの説明
f(x,y)=(ax+by,cx+dy)の部分が写像の具体的な内容を表します。
この写像は1次変換です。

f(x)=ax+by
f(y)=cx+dy ではないです。

f: (x,y)→(x',y')のとき
x'=ax+by
y'=cx+dy ということです。

この写像(1次変換)が
行列
(a b)
(c d) で表されるということです。
上下のカッコは繋いでください。

この場合は逆写像を持つことと、逆行列を持つことが同値になります。

お礼

回答ありがとうございます。

回答No.2

Tacosan

基本的には「写像」と「関数」は同じと考えていいと思います.
「あるものを別のものに対応づける」のが「写像」, 「あるものから別のものを作る」のが「関数」かな?
まあ今の問題の場合にはどっちで考えても同じで, 結論も想像できると思いますが.

お礼

回答ありがとうございます。

回答No.1

rom_exe

こんばんは ^^
　えっと，たぶん「逆関数定理」とかだと思います．
　ヤコビで解けると思いますが・・・

参考URL：

http://next1.cc.it-hiroshima.ac.jp/MULTIMEDIA/calc/node8.html

お礼

回答ありがとうございます。
参考URLよく読んでみます。