数学の行列の問題です。

質問

数学の行列の問題です。

行列A
a b
c -a

で定まる平面の１次変換について次の２条件が成り立つという。

(ア)直線ｘ+ｙ＝0上も任意の点の像はその点自身である

(イ)直線3ｘ+ｙ＝0の像はその直線自身である

このとき、次の値を求めよ。
（1）ａ，ｂ、ｃの値を求めよ。

（2）平面上の直線で、この１次変換による像がその直線自身であるものをすべて求めよ。

解説お願いします。

回答No.2

info22_

(1)[解き方]
(ア)直線ｘ+ｙ＝0上も任意の点の像はその点自身である
　点から点への写像の一致条件(☆1)
　直線から直線への写像の一致条件(☆2)
(イ)直線3ｘ+ｙ＝0の像はその直線自身である
　直線から直線への写像の一致条件(☆3)
(☆1),(☆2),(☆3)の条件からそれぞれ方程式を作ると
　a^2+bc=1,b+c=0,6a+c-9b=0
の３つが得られ、解けば
　(a,b,c)=(-5/4,-3/4,3/4) 、(5/4,3/4,-3/4)
が得られます。

(2)[解き方]
直線の式を
　px+qy+r=0 (p^2+q^2+r^2≠0)
と置いて(1)の2組の(a,b,c）のセットに対して(1)と同様な写像変換によって
p,q,rの方程式を立て、解くことで
(a,b,c)=(-5/4,-3/4,3/4)のとき
　x+3y+k=0 (kは任意の実数定数) および 3x+y=0
(a,b,c)=(5/4,3/4,-3/4)のとき
　3x+y+k=0 (kは任意の実数定数) および x+3y=0
と直線の方程式が得られます（上記以外の直線は存在しません）。

[検証]　それぞれの直線について実際に写像して題意の条件を満たしていることを
確認してみて下さい。直線自身に写像されることが分るでしょう。

回答No.1

naniwacchi

こんばんわ。

まず、（ア）と（イ）の違いはわかりますか？
どちらも「不動直線」ということにはなるのですが、
（ア）は「不動点の集まり」から成る不動直線となっています。

少し言い換えていくと、
・まず、直線上の点を媒介変数で表してみます。
（ア）直線：x+ y＝ 0であれば y＝ -xより、直線上の点は (s, -s)
（イ）同様に、直線：x+ 3y＝ 0であれば、(t, -3t)

と表すことができます。

・（ア）の場合は、(s, -s)の像がそのまま点(s, -s)になります（不動点）。
・（イ）の場合は、(t, -3t)の像：(X, Y)について Y＝ -3Xの関係が成り立ちます。

これらから、a, b, cに対する 3つの条件式が導かれます。

(2)は、ほとんど答えがでているようなものなのですが・・・
############################################################
（イ）について考えてみると、
これは直線の方向ベクトル(1, -3)を「拡大・縮小」をしているイメージになっています
。
（方向ベクトルを定数倍するような変換は、直線自身をそのままに保っている）

そして、（ア）は「拡大でも縮小でもなく、恒等変換」になっているといえます。
############################################################

解く上では、拡大・縮小（定数倍）の係数を kとでも置いて、
変換の像が満たすべき条件を書いていきます。

「すべて求めよ」とありますが、ある意味「とんでもない数」の答えが現れることになります。

#######で囲んだ部分ですが、実は固有ベクトル・固有値と深い関係があります。
定数倍が固有値になっています。