三角比の不等式について

質問

0≦sinθ≦1、-1≦cosθ＜1
のとき
-1≦sinθ-cosθ
なのですがなぜこうなるのでしょうか？

回答No.3

151A48 · ベストアンサー

-1≦cosθ＜1　は-1≦cosθ≦1 でないとおかしいですね。だって，sinθ が0になっているのですから，そのときcosθ=1ですから。
0≦sinθ≦1 , -1≦-cosθ≦1　を辺々足して　-1≦sinθ-cosθ≦2 となり，-1≦sinθ-cosθはでます。
数学Ｉの範囲ならこれでよいのですが，右の２は実は過大な評価です。もし２年生でしたら
三角関数の合成をして，sinθ-cosθ＝√２・sin(θ-π/4)
0≦sinθ≦1 , -1≦cosθ≦1　より　0≦θ≦πですから，-π/4 ≦θ-π/4≦3π/4 で
-1≦sinθ-cosθ≦√2　のように評価するのが正しいです。

お礼

問題の条件で0゜＜θ≦180゜となっていて、180゜のときsinθ＝1ですがcosθ＝-1で0゜が入らないのでcosθ＝1にはなりえないみたいです

深いところまでありがとうございます！

回答No.2

yyssaa

-1＜-cosθだから
-1＜sinθ-cosθでは？

お礼

そうでした ありがとうございます！

回答No.1

info22_

0≦sinθ≦1　...(1)

-1≦cosθ＜1 ...(2)

(2)に-1を掛けると不等号の向きが変わるから

1≧-cosθ＞-1

不等式の項を左右交換すると

-1＜-cosθ≦1 ...(3)

(1)+(3)をすると

-1＜sinθ-cosθ＜2

となりませんか？
加える際、≦と＜の式を加えると＜の式になります。

例
1＜3
1≦1
加えて
1+1＝2＜3+1＝4
つまり
　2＜4
と加えた後の不等号から＝がなくなります。

なお、sinθ-cosθは

=√2sin(θ-(π/4))

と変形できるので

-√2≦sinθ-cosθ≦√2
となるから

右辺の方は2ではなくて

　sinθ-cosθ≦√2

となるね。

お礼

なるほど ありがとうございます