数１ 三角比の計算で困っています

質問

問題：次の値を求めよ。
　　tan^2θ＋(１－tan^4θ)(１－sin^2θ）
※　^2や^4は、２乗、４乗のことです。

模範解答は、
=sin^2θ/cos^2θ＋(１－sin^4θ/cos^4θ)cos^2θ
=sin^2θ/cos^2θ＋(cos^4θ－sin^4θ)/cos^4θ×cos^2θ
　　　　　　　　↑実際は括弧なしの分数です
ここまでは理解できたのですが、
=sin^2θ/cos^2θ＋(cos^2θ－sin^2θ)/cos^2θ
となるのがなぜかわかりません。

(cos^4θ－sin^4θ)/cos^4θ×cos^2θの部分で、
cos^4θと、cos^2θを約分して、
(cos^4θ－sin^4θ)/cos^2θとなると思うのですが、なぜ
(cos^2θ－sin^2θ)/cos^2θとなるのでしょうか？

また、
もし他の解き方（数1レベル）があればそれも教えていただけるとうれしいです。よろしくお願いします。

回答No.3

debut · ベストアンサー

Ｎｏ１です。
他の解き方です。
tan^2θ＋(１－tan^4θ)(１－sin^2θ）
＝tan^2θ＋(１－tan^2θ)(１＋tan^2θ)(１－sin^2θ）
と因数分解すれば、１＋tan^2θ＝1/cos^2θであり、
sin-2θ＋cos^2θ＝１から１－sin^2θ＝cos^2θとなるので
＝tan^2θ＋(１－tan^2θ)(１/cos^2θ)(cos^2θ)
＝tan^2θ＋(１－tan^2θ)
＝１
というようにもできます。

お礼

この別解答のほうが楽な気がします。
すっきり解決しました。ありがとうございました！！

回答No.5

key-boy

＞模範解答は、
=sin^2θ/cos^2θ＋(１－sin^4θ/cos^4θ)cos^2θ
=sin^2θ/cos^2θ＋(cos^4θ－sin^4θ)/cos^4θ×cos^2θ
　　　　　　　　↑実際は括弧なしの分数です
ここまでは理解できたのですが、
=sin^2θ/cos^2θ＋(cos^2θ－sin^2θ)/cos^2θ
となるのがなぜかわかりません。

cos^4θ－sin^4θ＝（cos^2θ+sin^2θ)(cos^2θ－sin^2θ)=cos^2θ－sin^2θ
ここはcos^2θ+sin^2θ=1だからです。

お礼

丁寧に説明していただいてありがとうございます。
すっきり解決しました。ありがとうございました！！

回答No.4

rikarin-h

別解答の例として

sin^2θ/cos^2θ＋(cos^4θ－sin^4θ)/cos^4θ×cos^2θ

＝tan^2θ＋(cos^4θ－sin^4θ)/cos^2θ

＝tan^2θ＋cos^2θ－sin^2θtan^2θ
tan^2θでくくる
＝tan^2θ(1－sin^2θ)＋cos^2θ
cos^2θでくくる
＝cos^2θ(1＋tan^2θ)
約分して
＝１

どっちが簡単かはご自分で(笑)

お礼

別解答ありがとうございます。
どうも”くくる”という作業が苦手で、
ちょっと無理かも。
でもいろんな解き方があり、面白いですね。
ありがとうございました！！

回答No.2

tukimidai

=sin^2θ/cos^2θ＋(cos^4θ－sin^4θ)/cos^4θ×cos^2θ

(cos^4θ－sin^4θ)を因数分解

=sin^2θ/cos^2θ＋(cos^2θ+sin^2θ)(cos^2θ－sin^2θ)/cos^4θ×cos^2θ

(cos^2θ+sin^2θ)=1

=sin^2θ/cos^2θ＋(cos^2θ－sin^2θ)/cos^4θ×cos^2θ
=sin^2θ/cos^2θ＋(cos^2θ－sin^2θ)/cos^2θ

お礼

簡潔に回答していただき、ありがとうございます。
すっきり解決しました。ありがとうございました！！

回答No.1

debut

(cos^4θ－sin^4θ)=(cos^2θ＋sin^2θ)(cos^2θ－sin^2θ)
と因数分解できて、cos^2θ＋sin^2θ＝１なので
(cos^4θ－sin^4θ)=(cos^2θ－sin^2θ)　とできるのですね。