三角比

質問

■0°≦θ≦９０°で、sinθ-cosθ＝２分の１のとき
　sinθcosθ＝（ア）でsinθ+cosθ=（イ）である。

■sinθ-cosθ分のsinθ+cosθ＝２の時、
　tanθ＝（ア）、(sinθ+cosθ）^2＝(イ)である。

この二問が解けません。
どうゆう風に解いていけばいいのでしょうか？

回答No.3

noname#524

2.
sinθ+cosθ
──────　の分母・分子をcosθで割る
sinθ-cosθ

tanθ+1
────=2　となる。tanθ+1=2tanθ-2　tanθ=3
tanθ-1
　　　　　　　　　　　　　1
また、1+(tanθ)^2=──── を使用する。
　　　　　　　　　　(cosθ)^2

　　　　　　1　
1 + 9 = ──── = 10
　　　　(cosθ)^2

(cosθ)^2=1/10 よって　cosθ=1/√10 (cosθ≧0)

米1問目は前回の回答者の通りでしょう。
　解き方は他にもいろいろあります。

回答No.2

oodaiko

解法のヒントだけ
1問目
(sinθ-cosθ)^2 = (sinθ)^2 - 2 sinθcosθ + (cosθ)^2 = 1 - 2 sinθcosθ
を使えば（ア）は解けますね。（イ）も同様に２乗してから（ア）で求めた sinθcosθ
を使えば解けます。

2問目
与えられた式
(sinθ+cosθ)/(sinθ-cosθ)
の分子と分母をそれぞれcosθで割ると
sinθ/cosθ = tan θ を使って
(tan θ + 1)/ (tan θ - 1) と書けます。そこで（ア）はすぐ出るでしょう。

また
1+(tanθ)^2 = 1/(cosθ)^2
という公式が成り立ちます。（簡単ですからご自分で確かめて下さい。）
そこで

(sinθ+cosθ)^2 = (1 + tanθ)^2 × (cosθ)^2
= ((1 + tanθ)^2) / ( 1+(tanθ)^2 )
となりますから、先に求めたtanθを代入すれば（イ）も求まります。

回答No.1

Ryo_Hyuga

はじめまして。

まず1問目から。両辺を2乗します。そうすると、
(sinθ-cosθ)^2=1/4　になります。左辺を展開して、
sin^2θ-2sinθcosθ+cos^2θ　ですね。
ここで、sin^2θ+cos^2θ=1なので、
1-2sinθcosθ＝1/4　左辺の1を移項し、-2で割ると
sinθcosθ=3/8　になります。

次に、　sin^2θ-2sinθcosθ+cos^2θ=1/4
の式にいったん戻ります。
ここで、両辺に4sinθcosθを加えます。そうすると、
sin^2θ+2sinθcosθ+cos^2θ=1/4+4sinθcosθ
ですね。ここで、sinθcosθ=3/8　と分かってるので、
代入して計算すると、右辺は7/4になります。
左辺を因数分解すると、(sinθ+cosθ)^2　ですね。
よって、(sinθ+cosθ)^2=7/4　になり、
2乗をはずして答えにします。

2問目はもう少しまってください。