三角関数の不等式

質問

0≦θ＜2πのときsinθ+sin2θ+sin3θ＞0を解け

三倍角の公式でsinθ+sin2θ+sin3θ=sinθ+2sinθcosθ+3sinθ-4sin^3θ=4sinθ+2sinθcosθ-4sin^3θ=sinθ(4+2cosθ-4sin^2θ)=sinθ(2cosθ+4cos^2θ)=sin2θ(2cosθ+1)
これが正になるのはsin2θと2cosθ+1の符合が同じになったとき

ここからがわからないので教えてください

回答No.2

karamarimo · ベストアンサー

次の[1]、[2]に場合分けして、それぞれでθの範囲を求め、
求めた2つの範囲を合わせればいいと思います。

[1]sin2θ＞0 かつ cosθ＞-1/2
[2]sin2θ＜0 かつ cosθ＜-1/2

例えば[1]は
0≦2θ＜4π, sin2θ＞0 から
0＜2θ＜π, 2π＜2θ＜3π
すなわち 0＜θ＜π/2, π＜θ＜3π/2　…(1)

0≦θ＜2π, cosθ＞-1/2 から
0≦θ＜2π/3, 4π/3＜θ＜2π　…(2)

(1)、(2)の共通範囲から
0＜θ＜π/2, 4π/3＜θ＜3π/2

[2]も同様にできます。

計算間違いをしていたらすみません。
これでご理解いただけたでしょうか？

お礼

ありがとうございました！

回答No.1

mister_moonlight

＞ここからがわからないので教えてください

ここから先が分からないのでは、不等式は分かってないという事。
単位円を書いても良いし、グラフを書いても良い。分からなければ、教科書の復習をすること。

sinθ+sin2θ+sin3θ＝(sinθ＋sin3θ)＋sin2θ＝2*sin2θ*cosθ＋sin2θ＝sin2θ(2*cosθ＋1)＞0
(1)　sin2θ＞0、2*cosθ＋1＞0
(2)　sin2θ＜0、2*cosθ＋1＜0
　の2つの場合がある。

お礼

ありがとうございました！