三角比の問題についてお願いします

質問

式 3(cos^4θ+sin^4θ) - 2(cos^6θ+sin^6θ)の値を求めよ

という問題なのですが

3(cos^4θ+sin^4θ)を 3(cos^2θ+sin^2θ)^2として (cos^2θ+sin^2θ)^2 = 1 なので3×1で3
2(cos^6θ+sin^6θ)を 2(cos^2θ+sin^2θ)^3として (cos^2θ+sin^2θ)^3 =1　なので2×1で2

3-2= 1

この解き方は間違っていると言われたのですが
どこが間違っているのでしょうか?

回答No.1

asuncion · ベストアンサー

＞3(cos^4θ+sin^4θ)を 3(cos^2θ+sin^2θ)^2として

3(cos^2θ+sin^2θ)^2
= 3cos^4θ + 6cos^2θsin^2θ + 3sin^4θ
です。
6cos^2θsin^2θ はどこへ行ってしまいましたか？

3乗の展開も同じです。どこかへ行ってしまった項があります。

回答No.4

noname#182106

x, y の対称式（x, y が対等な式）は基本対称式 x+y と xy で表せます。
x, y, z の対称式は基本対称式 x+y+z, xy+yz+zx, xyz で表せます。

x^2 + y^2 = (x + y)^2 - 2xy
x^3 + y^3 = (x + y)^3 - 3xy(x +y)　が基本です。

よって、以下のようになります。

cos^4θ + sin^4θ
= (cos^2θ + sin^2θ)^2 - 2cos^2θ・sin^2θ
= 1 - 2cos^2θ・sin^2θ

cos^6θ + sin^6θ
= (cos^2θ + sin^2θ)^3 - 3cos^2θ・sin^2θ(cos^2θ + sin^2θ)
= 1 - 3cos^2θ・sin^2θ

与式
= 3(1 - 2cos^2θ・sin^2θ) - 2(1 - 3cos^2θ・sin^2θ)
= 1

回答No.3

asuncion

というわけで…。

(cos^2θ + sin^2θ)^2
= cos^4θ + 2cos^2θsin^2θ + sin^4θ
より、
cos^4θ + sin^4θ
= (cos^2θ + sin^2θ)^2 - 2cos^2θsin^2θ
= 1 - 2cos^2θsin^2θ

また、
(cos^2θ + sin^2θ)^3
= cos^6θ + 3cos^4θsin^2θ + 3cos^2θsin^4θ + sin^6θ
より、
cos^6θ + sin^6θ
= (cos^2θ + sin^2θ)^3 - 3cos^2θsin^2θ(cos^2θ + sin^2θ)
= (cos^2θ + sin^2θ)^3 - 3cos^2θsin^2θ
= 1 - 3cos^2θsin^2θ
であるから、

3(cos^4θ + sin^4θ) - 2(cos^6θ + sin^6θ)
= 3(1 - 2cos^2θsin^2θ) - 2(1 - 3cos^2θsin^2θ)
= 1
とする必要があります。

回答No.2

jlnd

まずsin cos の4乗の項を出す発想は必要だとは思いますが
展開によって出てくる
２sin^2θcos^2θの項を考慮してないと思います。
そこが間違えです。