図形の証明なのですが

質問

「正方形ABCDで、線分ADに対してAおよびDから正方形内にそれぞれ１５°の直線を引き
、たがいの交点をPとする。
このとき三角形PBCが正３角形であることを、証明せよ。」
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(1)正方形ABCDに正三角形ADRをくっつける（ADは共有）

AB=AD=ARより三角形ABRは二等辺三角形。角ABR=角ARB・・・・・・

(2)線分ABに対してAおよびBから正方形内にそれぞれ１５°の直線
を引き、たがいの交点をSとする。
（中略）

ＤＰSＢＣは正12角形の１／４になるので，
三角形PBCが正３角形

(1)(2)は前回ここで良回答をいただいたきました。
これ以外で三角関数を使わない証明があれば教えてください。

回答No.5

ferien · ベストアンサー

No.2，No.3，No.4です。再回答します。
ＡＰを延長してＤＣとの交点をＥ，ＤＰを延長してＡＢとの交点をＦとする。

仮定より、角ＰＡＤ＝角ＰＤＡ＝１５度　……（１）だから、
△ＰＡＤは二等辺三角形　
よって、ＰＡ＝ＰＤ　……（２）
（１）より、角ＰＡＦ＝角ＰＤＥ＝９０度－１５＝７５度　……（３）

△ＡＢＰと△ＤＣＰとで、
（２）より、ＰＡ＝ＰＤ　…（ア）
正方形の辺だから、ＡＢ＝ＤＣ　…（イ）
（３）より、角ＢＡＰ＝角ＣＤＰ＝７５度　…（ウ）
（ア）（イ）（ウ）より、２辺とその挟む角が等しいから、
△ＡＢＰ≡△ＤＣＰ
よって、ＰＢ＝ＰＣ　……（６）だから、
△ＰＢＣは二等辺三角形

△ＰＢＤについて、各辺の垂直二等分線を引くと、交点（外心）は点Ｃと一致する。
だから、点Ｃを中心として、Ｂ，Ｐ，Ｄを通る外接円が描けることになる。
よって、ＢＣ＝ＰＣ＝ＤＣ
（６）より、ＰＢ＝ＰＣ＝ＢＣだから、
△ＰＢＣは正三角形である。

結局、角を使って証明するのは諦めました。
何かあったらお願いします。

お礼

なるほど。Ｃを中心として円を描くわけですね。
お手数をおかけしました。
よくわかりました、ありがとうございました。

回答No.4

ferien

No.2，No.3です。度々済みません。間違いを見つけました。

角について説明している部分の１２行目で、
説明もなしで角ＰＲＣ＝９０度としているのですが、このようにすると
正三角形であることを前提に証明していることになってしまうので、
No.2の回答は取り下げたいと思います。
角についての証明が難しいです。できるかどうか分かりませんがもう少し考えてみます。

読んで頂いているところ申し訳ないですが、よろしくお願いします。
（何とかなりそうであると思ったら、考えてみて下さい。）

回答No.3

ferien

済みません。必要のない証明記述の削除をお願いします。

＞ＡＢ平行ＤＣより、
＞角ＰＡＦ＝角ＰＥＤ＝７５度　……（４）
＞角ＰＦＡ＝角ＰＤＥ＝７５度　……（５）

の削除をお願いします。どこにも使われていない条件です。
それによって、以下の記述も

△ＡＢＰと△ＤＣＰとで、
（２）より、ＰＡ＝ＰＤ　…（ア）
正方形の辺だから、ＡＢ＝ＤＣ　…（イ）
（３）より、角ＢＡＰ＝角ＣＤＰ＝７５度　…（ウ）
（ア）（イ）（ウ）より、２辺とその挟む角が等しいから、
△ＡＢＰ≡△ＤＣＰ

のようにして下さい。

回答No.2

ferien

証明が少し長いですが、図を描いて考えてみて下さい。

「正方形ABCDで、線分ADに対してAおよびDから正方形内にそれぞれ１５°の直線を引き
、たがいの交点をPとする。
>このとき三角形PBCが正３角形であることを、証明せよ。」

ＡＰを延長してＤＣとの交点をＥ，ＤＰを延長してＡＢとの交点をＦとする。

仮定より、角ＰＡＤ＝角ＰＤＡ＝１５度　……（１）だから、
△ＰＡＤは二等辺三角形　
よって、ＰＡ＝ＰＤ　……（２）
（１）より、角ＰＡＦ＝角ＰＤＥ＝９０度－１５＝７５度　……（３）
ＡＢ平行ＤＣより、
角ＰＡＦ＝角ＰＥＤ＝７５度　……（４）
角ＰＦＡ＝角ＰＤＥ＝７５度　……（５）

△ＡＢＰと△ＤＣＰとで、
（２）より、ＰＡ＝ＰＤ　…（ア）
正方形の辺だから、ＡＢ＝ＤＣ　…（イ）
（３）（４）（５）より、角ＢＡＰ＝角ＣＤＰ＝７５度　…（ウ）
（ア）（イ）（ウ）より、２辺とその挟む角が等しいから、
△ＡＢＰ≡△ＤＣＰ
よって、ＰＢ＝ＰＣ　……（６）
（６）より、△ＰＢＣは二等辺三角形
よって、角ＰＢＣ＝角ＰＣＢ……（７）

ＰからＢＣに垂線を引き交点をＨとする。
ＰＨは角ＢＰＣの二等分線だから、
角ＢＰＨ＝角ＣＰＨ＝●と表す。
だから、角ＢＰＣ＝●●　（角にしるしを付けて下さい）
ＡＢ平行ＰＨより、角ＡＢＰ＝角ＢＰＨ＝●
ＤＣ平行ＰＨより、角ＤＣＰ＝角ＣＰＨ＝●
角ＰＢＣの二等分線を引きＰＣとの交点をＱ，
角ＰＣＢの二等分線を引きＰＢとの交点をＲとする。
（７）より、角ＰＢＣ＝角ＰＣＢ＝△△
角ＰＢＱ＝角ＱＢＣ＝△
角ＰＣＲ＝角ＲＣＢ＝△　と表す。
△ＰＲＣで、角ＰＲＣ＝９０度だから、残りの角は、
●＋●＋△＝９０度
角ＡＢＣで、●＋△＋△＝９０度
両辺足し合わせて、
３●＋３△＝１８０度だから、●＋△＝６０度
●＝（●＋●＋△）－（●＋△）＝９０－６０＝３０度
（△＝６０－●＝６０－３０＝３０度）
角ＢＰＣ＝●●＝３０×２＝６０度
よって、△ＰＢＣは正三角形である。

間違いや、何かあったらお願いします。

補足

ゆっくり読んで考えますので、お礼は今しばらくお待ちください。

回答No.1

ji6

線分ADに対してAおよびDから正方形内にそれぞれ１５°の直線を引き
たがいの交点をPとする。∠PAD=∠PDA=15°

次に、線分BCに対してBおよびCから正方形内にそれぞれ60°の直線を引き
たがいの交点をQとする。このとき△QBCは正三角形であるから、
　AB=BC=QB より、△ABQは二等辺三角形
　∠ABQ=90°-60°=30°より、∠BAQ=75°
よって、∠QAD=15°
同様にして、∠QDA=15°

△ADPと△ADQにおいて、
　AD共通、∠PAD=∠QAD=15°、∠PDA=∠QDA=15°
よって、△ADP≡△ADQ
辺ADは共通であり、点Pと点Qは、どちらも正方形の内部にあるので
点Pと点Qは同一の点である。

したがって、△PBCも正三角形である。

お礼

PであるQをとるというのは気が付きませんでした。

ありがとうございました。