数学の証明

質問

辺ABと直線との交点をE、辺CDと直線との交点をQとする。

四角形ABCDの対角線AC、BDが点Pで直交するとき、

円周角∠APD　=　∠DPC　=　∠CPB　=　∠BPA　=　90°(1)

弧AB　=　弧BC　=　弧CD　=　弧DA (2)

弦AB　=　弦BC　=　弦CD　=　弦DA (3)

以上で四角形ABCDは正方形であると証明された。

次に点Pを通り、辺ABに垂直な直線を引く。

(1)(2)(3)より

AE　=　BE CQ　=　DQ

AE　=　CQ BE　=　DQ

AE　=　DQ BE　=　CQ

よってPを通って辺ABに垂直な直線は辺CDを2等分する。

よって証明された。

これで証明できているのかがわかりません。
教えて頂けないでしょうか。

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回答No.6

B-juggler · ベストアンサー

Ｎｏ．１です。補足の部分。

条件が定かではないので、そこを確かめたいのですが。

まず、この問題は「円に内接している四角形」の話だと思うのですが？

もしそうだとすると、「対角線が直行する」ことで

その四角形は　ひし形か正方形　ですので（前述のとおり）、

円に内接していることから、ひし形ではありえない。

したがって、正方形。　これで証明終わり。

（１）（２）（３）は、正方形だと説明しているだけで、必要ありません。

もう一つ、点Ｐは正方形の対角線の交点かつ円の中心ですので、

もしも証明するのなら、⊿ＡＰＥ≡⊿ＢＰＥ　について証明したほうシンプルでしょうね。

あるいは前述のとおり、対称性を使うかですが、ちょっと見えにくいかな？

(=^. .^=)　ｍ（＿　＿）ｍ　(=^. .^=)

お礼

即時回答して頂きありがとうございました。
分かりやすく解説して頂き、本当に助かりました！！

回答No.5

shuu_01

あ、また僕の証明に間違いありました

△ ABP、△BCP、△CDP、△DPA いずれも頂点 P が円の中心
にあり、その対辺は等しく、 AB＝BC＝CD＝DA である　（１）

　　　　　　　　　　　　　　↓

△ ABP、△BCP、△CDP、△DPA いずれも頂点 P が円の中心
にあり直角、２辺が半径に等しい、直角二等辺三角形なので、
直角のその対辺も等しく、 AB＝BC＝CD＝DA である　（１）

（ちょっと日本語おかしいですけど、通じることは通じるかな）

回答No.4

shuu_01

元の問題文はどんなんですか？

四角形 ABCD が正方形であることを証明しろおいう問題ですか？

そうであれば、以下のように証明できます

――――――――――――――――――――――――――

△ ABP、△BCP、△CDP、△DPA いずれも頂点 P が円の中心
にあり、その対辺は等しく、 AB＝BC＝CD＝DA である　（１）

△ ABP は２辺が半径の二等辺三角形なので、角 APB 以外の
残りの２つの角度は （180 － 90） / 2 ＝ 45度

△BCP、△CDP、△DPA も同様に円の中心にある以外の
残りの２つの角度は 45度

したがって、四角形 ABCD の４つの角度はいずれも
45度 ＋ 45度 ＝ 90度 （２）

（１）、（２） より 四角形 ABCD は正方形である

――――――――――――――――――――――――――

9894380835 さんの証明でおかしいのは

最初に
「辺ABと直線との交点をE、辺CDと直線との交点をQとする。」

と言っていますが、直交すると言ってません

（細かいですが、１つめの交点が E なら ２番目は F、
　Q と言いたいなら、１つめの交点を P、２番目を Q、
　円の中心は O（オー）とするのが普通です）

その後、

「次に点Pを通り、辺ABに垂直な直線を引く。」 と言い、

あたかも EQ が AB に垂直なように話を進めてますが、
EQ が AB に垂直かどうかわからないので、
その後の証明は間違いとなります

また、

「円周角∠APD　=　∠DPC　=　∠CPB　=　∠BPA　=　90°(1)」

と言ってますが、円周角ではなく、中心角です

言葉の使い方が間違っています

もう１つ、正方形というためには、４つの角度が直角であることを
言わないといけません

４辺の長さが等しいというだけでは、単なるひし形ですので、
その議論ももう一歩足りません

回答No.3

bon_be

問題

四角形ABCDの対角線AC、BDが点Pで直交するとき、
点Pを通り、辺ABに垂直な直線を引けば、

Pを通って辺ABに垂直な直線は辺CDを2等分する

ということでしょうか？

補足

即時回答ありがとうございます。
はい。

回答No.2

f272

何を前提にして何を証明したいのか良くわからんが，四角形ABCDがどうしてひとつの円周上にあるんだ？そしてどうして点Ｐがその円の中心なんだ？

回答No.1

B-juggler

ハイちょっとお邪魔。

代数屋さんだけど。

遠回りしているかもね。

＞四角形ABCDの対角線AC、BDが点Pで直交するとき
これで、正方形かひし形　が分かるから、「円に内接している」ようなので、

ひし形はありえない。よって正方形は証明できるよ（というより明らか）。

この場合、対角線の交点と円の中心は一致するので、

対称性がいえて、弧も、弦も、等分するね。

対称性より明らかでもいいと思うよ。

(=^. .^=)　ｍ（＿　＿）ｍ　(=^. .^=)

証明できているけれど、余計なことが多すぎるかもしれない。

補足

即時回答して頂きありがとうございます。
余計なものが多いとのご指摘ですが、どの部分をカットすれば良いか教えて頂きませんか？