数学図形

質問

数学で分からない問題があります。

図のように、円Oの周上に4点A、B、C、Dがこの順にあり、
線分ADは円Oの直径である。
線分ADを延長した直線と線分BCを延長した直線の交点をPとし、またOD＝DP＝6cm、BC＝CPとする。
（問）四角形ABCD の面積を求めよ。

という問題です。　
解き方を教えていただきたいです。
お願いします！

回答No.2

CTAB · ベストアンサー

DCとOBに線を引くと、それぞれを底辺として、Pを頂点とした三角形PDCとPOBがかけます。
で、Aを頂点とした三角形を考えると、PDCを基準の大きさにしたとき、三角形PABは、PBで2倍、PAで3倍で、PDCの6倍の大きさになります。なので、四角形ABCDはPDCの5倍です。
角DCAは直径の円周角なので90度です。辺ADは12cmで、辺DCはOBの半分だから3cmです。
三平方で辺ACがでます。角DCAは90度なので、三角形DCAの面積がでます。
DCAの半分の面積がPDCです。
PDCの5倍の面積が求める四角形の面積になる・・・はずです。たぶん。

お礼

ご回答ありがとうございました！

回答No.1

noname#215361

円に内接する四角形の対角の和は180°であるから、∠BAP=∠DCP
よって、△ABPと△CDPは2角がそれぞれ等しく相似
BC=CP=xとすると、x/6=6*3/2x→x=3√6cm
これから、△ABPと△CDPの相似比は6*3：3√6=√6：1、面積比は（√6）^2：1^2=6：1
△COPにおいて、CO=6cm、OP=6*2=12cm、PC=3√6cm
余弦定理から、6^2=12^2+（3√6）^2-2*12*（3√6）cosP→cosP=9/4√6
sinP=√｛1-（9/4√6）^2｝=√（5/32）
△ABPの面積は、（3√6）*2*6*3*√（5/32）/2=（27√15）/2cm^2
よって、四角形ABCD の面積は（27√15）/2*5/6=（45√15）/4cm^2

お礼

ご回答ありがとうございました！