図形の性質

質問

円に内接する四角形ABCDにおいて、直線DAと直線CBとの交点をP、直線BAと直線CDとの交点をQとするとき、

AB/CD×AD/BC=AP×QA/CQ×PC

となることを示せ。

教えて下さい。お願いします。

回答No.3

staratras

円に内接する四角形では対角の和が１８０度になるという性質があるので、下の図で同じ印を付けた角が等しくなります。このため点P、点Qをそれぞれ頂点とし、同じ印の内角をもつ2組の三角形が相似になります。(頂点Pを共有し▲の内角を持つ1組と、頂点Qを共有し●の内角を持つもう1組です）あとは計算してみてください。

お礼

ありがとうございます。計算してみます。

回答No.2

atkh404185

円に内接する四角形の内角は
向かい合う内角の隣にある外角に等しい

という、性質を使うと、
三角形の相似から、証明することができます。

△ＰＡＢ　∽　△ＰＣＤ　より
ＡＢ/ＣＤ＝ＰＡ/ＰＣ　・・・・・(1)

△ＱＡＤ　∽　△ＱＣＢ　より
ＡＤ/ＣＢ＝ＱＡ/ＱＣ　・・・・・(2)

(1)、(2)　より
(ＡＢ/ＣＤ)×(ＡＤ/ＣＢ)＝(ＰＡ/ＰＣ)×(ＱＡ/ＱＣ)
＝(ＰＡ×ＱＡ)/(ＱＣ×ＰＣ)
＝(ＡＰ×ＱＡ)/(ＣＱ×ＰＣ)

のようにできます。

回答No.1

bran111

この問題で微妙なところは

「直線DAと直線CBとの交点をP」であって、CD>AB,　CB>ADのとき左のほうに交点Pができます。そうでないときは右のほうに「直線ADと直線BCとの交点をP」ができますが、これではだめです。つまり直線DAと直線CBは方向性を持っているということです。

題意に適した絵がかけたら後は簡単、メネラウスの定理をP,Qから出発して使えばよい。

⊿CQBとPの関係にメネラウスの定理を使うと
(PB/BC)(CQ/QD)(DA/AP)=1 (1)

⊿PCBとQの関係にメネラウスの定理を使うと
(QB/DC)(CP/PB)(BA/AQ)=1 (2)

(1)×(2)
(CP×AB×CQ×DA)/(DC×AQ×BC×AP)=1

整理して

（AB/CD)(AD/BC)=(AP/CP)(AQ/CQ)