図形の証明をしてください

質問

「正方形ABCDで、線分ADに対してAおよびDから正方形内にそれぞれ１５°の直線を引き、たがいの交点をPとする。
このとき三角形PBCが正３角形であることを、証明せよ。」
　一度友人に教わったのですが忘れてしまいました。もう一度聞くのもしゃくにさわるし。。。お願いします。

回答No.4

good777 · ベストアンサー

「正方形ABCDで、線分ADに対してAおよびDから正方形内にそれぞれ１５°の直線
を引き、たがいの交点をPとする。
このとき三角形PBCが正３角形であることを、証明せよ。」

線分ABに対してAおよびBから正方形内にそれぞれ１５°の直線
を引き、たがいの交点をQとする。

三角形ＡＰＱは正三角形になる。

よって，ＤＰ＝ＰＱ＝ＱＢ
となる。

四角形ＤＰＱＢＣは正12角形の１／４になるので，
三角形PBCが正３角形

お礼

ありがとうございました

回答No.3

j-mayol

＃２の方の回答への補足。
三角形ＲＰＤは２角が７５度で等しいからＰＲ＝ＰＤの二等辺三角形。
（ＲＡＤ，ＰＡＤともに二等辺三角形だから、ＲＰは∠ＡＲＤを二等分するため、∠ＤＲＰは３０度となる）
ＲＤ＝ＣＤ，ＰＤは共通、∠ＲＤＰ＝∠ＣＤＰ＝７５度より
三角形ＲＰＤ≡三角形ＣＰＤ
よって三角形ＣＰＤはＣＤ＝ＣＰの二等辺三角形。
よってＣＤ＝ＣＰ＝ＢＣ
三角形ＰＢＣがＰＢ＝ＰＣの二等辺三角形なのは明らかだから、
以上を踏まえて、三角形ＰＢＣは正三角形である。

お礼

ありがとうございました

回答No.2

una_hoge

正方形ABCDに正三角形ADRをくっつける（ADは共有）
AB=AD=ARより三角形ABRは二等辺三角形。角ABR=角ARB、角BAR=９０＋６０＝１５０度より角ABR=角ARB＝１５度。
同様に角DCR＝15度。B、Cから15度の角度で引いた直線の交点がRであるのでR=Pであり、三角形ADPは正三角形

お礼

ありがとうございました

回答No.1

gajiji

正方形の一片の長さを１として、ＡＤの中点をＭ、ＢＣの中点をＮとおきます。
ＰＭが(1/2)*tan15°なので2-(3^(1/2))/2です。

※-----
tan15°を求めるのには
sin15°=( (6^(1/2))-(2^(1/2)) )/4
cos15°=( (6^(1/2))+(2^(1/2)) )/4
という知識を持ってないといけないですね。
ちなみに75°の場合は分子の＋と－が入れ替わるだけなので重ねて覚えておくと便利です。
※-----
というわけでＮＰの長さも分かります。
(3^(1/2)/2ですね。
ＮＰ：ＣＮ＝(3^(1/2)/2：1/2
　　　　　＝(3^(1/2)：1
というわけで１：２：３＾（１／２）で角度が分かります。
あとはわかりますね。
正三角形です。

もっと分かりやすい回答も聞きたいので、後の回答を楽しみにしてますｗ

お礼

ありがとうございます
友達の回答は、三角関数を使いませんでした。
ほかに証明があるでしょうか？