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正方形の折り紙から正三角形を作る証明
- 正方形ABCDの折り紙から正三角形EBFを作る方法を証明する。
- 折り紙の手順を説明し、高校までの知識のみを使用して証明する。
- 三角形EBFは正方形ABCD内にとれる最大の三角形であることを示す。
- saiumalsei
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No.3です。折り紙の対称性を生かせば、 辺の長さなど具体的に計算する必要はないことに気づきました。 正方形の1辺をaとします。 ABがA'Bと一致するように折るので、A'B=AB=a 同様にDCがA'Cと一致するように折ることもできるのでA'C=CD=a だから 三角形A'BCは正三角形なので、∠A'BC=60度 同様に考えると、三角形C'BAも正三角形なので、∠ABC'=60度 したがって ∠A'BC'=60+60-90=30度 また折る対称性から、三角形ABA'と三角形CBC'は合同なので ∠ABA'=∠CBC'=(90-30)/2=30度 折った際の対称性から∠A'BE=∠ABE=30/2=15度 同様に∠C'BF=15度 よって∠EBF=∠EBA'+∠A'BC+∠C'BF=15+30+15=60度 図の対称性からBE=BFであり、頂角が60度の二等辺三角形だから 三角形EBFは正三角形である。
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- f272
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#1です。 ちょっとおかしかったね。#3さんがやっているように修正することはそんなに難しくないよね。でもこれだけではなんなので、違うやり方を書こうと思ったら#5さんがすでに書いていた。 ということで、もう少し変えて書いてみる。こちらのほうが美しくないけどね。 A'からABに垂線をおろせばその長さは1です。またA'Bは2ですから、1:2:√3の直角三角形になってA'BAは30度になり、EBAはその半分で15度です。FBCも同じように15度ですから、結局EBFは60度です。そうするとEBFは頂角が60度の二等辺三角形ですから、正三角形です。
- chie65536（@chie65535）
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という訳で、証明してみよう。 正方形の１片の長さを１とする。 AB^2=BQ^2+A'Q^2より A'Q＝√(1-0.25)＝√0.75 A'S＝1-√0.75 AA'とBEは直交しているので、三角形ABEと三角形AA'Sは相似形。従って、AEの長さは、A'Sの２倍。 AE＝2(1-√0.75) BE^2＝AE^2+AB^2により BE^2＝(2(1-√0.75))^2+1 ＝(2-2√0.75)^2+1 ＝4-8√0.75+4×0.75+1 ＝4-8√0.75+4×0.75+1 ＝4+3+1+8√0.75 ＝8+8√0.75 ED＝1-AE =1-2(1-√0.75) EF^2＝ED^2+ED^2=2×ED^2より EF^2＝2×(1-2(1-√0.75))^2 ＝2×(1-2+2√0.75)^2 ＝2×(-1+2√0.75))^2 ＝2×(2√0.75-1)^2 ＝2×(4×0.75-4√0.75+1) ＝8×0.75-8√0.75+2 ＝6-8√0.75+2 ＝8-8√0.75 BE^2＝8-8√0.75 EF^2＝8-8√0.75 BE^2＝EF^2 ゆえにBE＝EF＝BFであるから三角形BEFは正三角形。
- staratras
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この問題、うっかりするとEがASの、FがCRのそれぞれ中点のように見えますが、そうではありません。( 実際に折ってみれば明らかです） もっとうまいやり方があるかもしれませんが、愚直にひとつひとつ長さを求めてみました。 正方形の1辺の長さを2とすると、AB=A'B=2 だから 三平方の定理より A'Q^2=A'B^2-BQ^2=2^2-1^2=3 A'Q=√3 だから A'S=2-√3 したがって A'E=AE=x とすると 三角形A'SEに三平方の定理を用いて x^2=(1-x)^2+(2-√3)^2 これを解くと x=2(2-√3) BE^2=AB^2+AE^2=2^2+x^2= 32-16√3 EF^2=2×(2-x)^2=2×{2(√3-1)}^2=32-16√3 また図の対称性からBE=BF だから BE^2=EF^2=BF^2 すなわち AE=EF=BF 三角形EBFは正三角形
- f272
- ベストアンサー率46% (8467/18126)
ようするにBE=EFを言えばよい。そうすればBE=BFはわかっているのだから三角形EBFの3辺が等しいことになって正三角形であることが証明できる。 さてBE=EFであることにはピタゴラスの定理を使う。正方形の1辺の長さを2とすれば BE^2=AB^2+AE^2=4+0.25=4.25 EF^2=ED^2+FD^2=2.25+2.25=4.25 であるからBE=EFであることが示せた。
