中学数学図形の問題です

質問

教えて下さい
図の四角形ABCDは　AB//CD、∠ABC＝90°の台形である。線分BCの中点をMとし、点Mと点Aを結び、線分AMを点Mの方向に延ばした直線と、辺CDを点Cの方向に延ばした直線との交点をEとする。点Dと点Mを結ぶ。∠AMD＝90°のとき次の問いに答えよ
(1)∠MAB＝68°のとき、∠ADEの大きさを求めよ
(2)AB=2ｃｍ、CD=8ｃｍのとき
辺ADの長さを求めよ、△DAEの面積を求めよ

よろしくお願いします

回答No.11

bunjii

回答No.10の追加です。
∠MAB=68°、AB=2cmを基準に作図し回答No.10の添付画像に重ねてみました。
線分AB=2cmを起点として∠MAB=68°を優先して作図（赤線）
BM=tan(68°)×2cm≒4.95cm
BC=BM×2=9.9cm
∠ABC=90°としてBCを描き、C点からABに平行なCD=8cmを描きます。
DとAを結ぶ直線を描き、DとBCの中点（M）を結ぶ直線を描きます。
DからCを通って直線を延長し、AからMを通って直線を延長し、交点をEとします。
∠ADN=atan(9.9÷6)≒59°
∠MDC=atan(4.95÷8)≒32°
∠ADM=59-32°=27°
∠EAN=atan(4÷9.9)≒22°
∠DAN=90°-∠ADN=90°-59°=31°
∠AMD=180°-∠DAN-∠EAN-∠ADM=180°-31°-22°-27°=100°
∴　∠AMD≠90°

質問の(1)は矛盾します。
∠AMD=90°と∠MAB=68°は両立しません。

回答No.10

bunjii

実寸で作図してみます。
条件は以下の通りです。
CD=8cm
AB=2cm
∠AMD=90°
AB//CD
△ABM≡△CEM
BCの中点=AEの中点
上記の条件から△DAEはAEを底辺とする2等辺三角形でありDAは10cmです。
AからDEへ垂線を引いて交点をNとすればDNは6cmであることが分かります。
AN=BC=√(10^2-6^2)=√(100-36)=√64=8
∠MAB=atan(BC÷2÷AB)=atan(8÷2÷2)≒63°
∴　∠MAB=68°はあり得ません。

回答No.9

nihonsumire

nihonsumire です。△ABM∽△MCDから、AB:MC=BM:CDになります。BM=MC=xとおいて、2次方程式を解きます。

回答No.8

bunjii

>(1)∠MAB＝68°のとき、∠ADEの大きさを求めよ
AB//CD
∠ABC=90°
∠AMD=90°
AB=2cm
CD=8cm
上記の条件で∠MAB=68°はあり得ないと思います。
条件を再確認してしてください。

補足

確認しましたが、問題はあってます

回答No.7

nihonsumire

きちんと答えを書かないと、評判が良くないことを承知で回答します。力づくでも解けますが。
(1)△AMD≡△EMDから、△DAEが二等辺三角形になることが分かれば解けるでしょう。
(2)(1)から、ADがすぐ求まります。△ABM∽△MCDから、BM=CM=4と分かります。台形ABCD－△ABM－△DCMで求められるでしょう。
　あるいは、△ABM：△DCM=1：4、△ABM：△DAM=1：5から求めれレます。
これらは、入試で良く出る問題を解くテクニック満載の標準的な良問です。しっかり、出来きるようにしましょう。

補足

回答ありがとうございます。
教えて下さい。
△ABM∽△MCDから、BM=CM=4　BM=CM=4が導けないのですが、
相似になるのはわかりますが、ABとCDは対応する辺ではないですよね？
BM、CMの長さはどうやって求めるのですか？
よろしくお願いします。

回答No.6

staratras

No.3です。（２）の問題文を正確に作図すると、下の図のようになります。
BM=CM=xとおくと、三平方の定理から
DＭ＝√(8^2+x^2)=√(64+x^2)
AM=√(x^2+2^2)=√(x^2+4) だから、
三角形AMDで三平方の定理からDM^2+AM^2=AD^2
64+x^2+4+x^2=100 よりx^2=16　x=4　∴BC=2x=8
したがって三角形DAEの面積 は台形ABCDの面積と等しいから
求める面積は　(2+8)×8÷2=40　答え40平方センチメートル

回答No.5

staratras

No.3です。この問題で（１）と（２）は別物です。まず（１）の問題文を正確に作図すると下の図のようになります。

回答No.4

deshabari-haijo

頂点Aから辺CDに下した垂線の足をHとし、∠ADE=44°とすると、
AD×cos44°=DH=8-2=6cm
AD=6/cos44°≒8.341cm
あれ？

出題者は、△DAEがDA=DE=10cmの二等辺三角形になり、直角三角形DAHにおいて、AD=10cm、DH=6cmであれば、三平方の定理から、AH=√(10^2-6^2)=√64=8cmになるので、、△DAEの面積は、底辺をDE=8+2=10cm、高さをAH=8cmとして、10×8÷2=40cm^2になると考えたのでしょうが、そう簡単には行かないのです。

(1)
∠ADE=x°とすると、AD×cosx°=6
AH=AD×sinx°=EH×tan68°=4tan68°
これからsinx°/cosx°=tanx°=4tan68°/6=2tan68°/3→x=58.78°
（AB=2cm、CD=8cmの条件が必要です。）

(2)
(1)から、AD=6/cos58.78°≒11.58cm
また、AH=BC=2BM=2×2tan68°≒9.900cm
よって、△DAEの面積は、底辺をDE=10cm、高さをAH=9.900cmとして、
10×9.900÷2=49.50cm^2

※
この問題は、出題者が中学数学の知識で解けると勘違いしたようですが、関数電卓でも使わない限り解けません。

回答No.3

staratras

下の図を見て、考えてみてください。
ポイントは、三角形ＡＢＭとＥＣＭが合同であること。
このため三角形ＤＡＥがＤＡ＝ＤＥの二等辺三角形になることです。
また△ＡＢＭ≡△ＥＣＭから三角形ＤＡＥの面積は台形ＡＢＣＤの面積に等しくなります。

なお便宜上（１）と（２）を一つの図に書き込みましたが、実際に作図すると、
別の図になります。

回答No.2

asuncion

あ～全然ダメですね
いったんリセット