中学数学の図形の問題です。

質問

数学の図形の問題がわかりません。教えてください。よろしくお願いいたします。

図のようにＡＢ＝６ｃｍ、ＢＣ＝９ｃｍの長方形ＡＢＣＤがある。辺ＡＤの上側に点Ｅを、ＡＢ＝ＡＥ、ＡＤ＝ＤＥとなるようにとる。また、点Ｅから辺ＡＤにひいた垂線と辺ＡＤとの交点をＦとし、点Ｄから線分ＡＥにひいた垂線と線分ＡＥとの交点をＧとする。点Ｈは線分ＣＥと辺ＡＤとの交点である。
このとき次の問いに答えなさい。

・点Ｅと直線ＣＤとの距離を求めなさい。

・線分ＤＨの長さは線分ＦＨの長さの何倍か求めなさい。

回答No.3

Nouble

済みません、誤植です。
謹んで、お詫びの上
訂正、致します。

誤記、

先ず、
∠ADEを、求める。

其の為に、
線分AE、DE、GE、
各々の、長さを
明確に、する。

正記、

先ず、
線分AF長を、求め、
此を、元に、
線分DF長を、求め、
問われた、距離に
代える。

其の為に、
線分AE、DE、GE、
各々の、長さを
明確に、する。

以上、
重ね、重ね、
済みませんでした。

回答No.2

Nouble

・点Ｅと直線ＣＤとの距離を求めなさい。

先ず、
∠ADEを、求める。

其の為に、
線分AE、DE、GE、
各々の、長さを
明確に、する。

線分AE=線分AB=6cm、
線分DE=線分AD=線分BC=9cm、

∠AGD=∠EGD=90°、
三角形GAD、三角形EAD、
各々に、おいて
線分ADを、共有、
∴三角形GAD≡三角形EAD、

此等より、
∴線分GE=線分AE/2=3cm　…(1)

また、
∠EAD=∠GED=∠EAF、
∠EGD=∠AFE=90°、
より、
三角形EGD∽三角形AFE、
∴線分AF:線分AE=線分GE:線分DE=3cm:9cm=1:3　…(2)

線分AEが、6cmなので、(2)より、
線分AF=2cm、

線分AD=9cmなので
線分FD=線分AD-線分AF=9cm-2cm=7cm

更に、
∠EFD=90°
線EF∥線CDより、
点Ｅと直線ＣＤとの距離=線分FD

よって、
点Ｅと直線ＣＤとの距離は、7cm。

・線分ＤＨの長さは線分ＦＨの長さの何倍か求めなさい。

∠EHF=∠CHD
∠EFH=∠CDH=90°
より、
三角形EFH∽三角形CDH
∴線分DH:線分FH=線分CD:線分EF　…(3)、

また、
線分EF=(√(線分ED^2-線分GE^2))/線分ED×線分AE
=( √(9cm^2-3cm^2))/9cm×6cm
=(3√2/3×2)cm
=2√2cm　…(4)、

線分CD=線分AB=6cm　…(5)、

(3)、(4)、(5)、
等より、
線分DH:線分FH=6cm:2√2cm=3:√2

∴線分DH/線分FH=3/√2

よって、
線分DHは、線分FHの
3/√2倍　(約2倍)。

(二つ目は、間違えたな？　どうも)

回答No.1

noname#231363

直角三角形AGDと直角三角形AFEは、相似比がAD：AE=９：６=3：2の相似であるから、
AF=AG×2/3=AE/2×2/3=6/2×2/3=2cm
よって、DF=9-2=7cm
これが、点Eと直線CDとの距離になります。

直角三角形AFEにおいて、三平方の定理から、
EF^2=AE^2-AF^2=6^2-2^2=36-4=32→EF=4√2
直角三角形HFEと直角三角形HDCは、相似比がEF：CD=4√2：6=2√2：3の相似であるから、
DH/FH=3/2√2=(3√2)/4倍

補足

相似比と三平方の定理を使うのですね。ありがとうございました。