不等式の証明

質問

問題　x > 0 のとき、次の不等式が成り立つことを証明せよ。

log (1 + x) < (1 + x)/ 2

F (x) = (1 + x)/2 -log (1 + x ) とおくと、

F' (x) = 1/2 - 1/ (1 + x) = (x - 1)/2(1 + x)

F' (x) = 0 とすると、x = 1

x > 0 における　F (x) の増減は、　x =0 のとき、F(x) = 1/2
0＜x＜1のとき、　F ' (x) < 0, 増減: 減少,
x = 1 のとき、　F ' (x) = 0, 極小値　1-log2　
1 < x のとき、　F ' (x) > 0, 増減: 増加

2< e であるから、log 2 < log e すなわち、log 2 < 1。
1-log2 > 0 であるから、x > 0 のとき、　F(x) ≧　F(1) > 0
よって、x > 0 のとき、log (1 + x) < (1 + x)/ 2 は成り立つ。

ここで質問なのですが、　なぜ、2< e であるから、log 2 < log e すなわち、log 2 < 1。といったようになるのでしょうか。

教えてください。

回答No.2

rnakamra · ベストアンサー

logt(x)とはe>1を底とする対数ですので、単調増加関数であるので
A>B>0 であれば　log(A) > log(B) となります。あくまで底が1よりも大きいのでこのようなことが言えます。

さすがにeが2よりも大きいということは知っておかないといけないでしょう。大雑把でe≒2.7とでも覚えておけばよいでしょう。

お礼

e≒2.7　をど忘れしていました。

どうもありがとうございました。

回答No.1

yyssaa

A＞B＞0であればlog A＞log Bであり、ここでのlogはeを底とする
自然対数なので、log e=1です。