不等式の証明

質問

問題　0 < x < π のとき、不等式　x cosx < sin x がなりたつことを示せ。

F(x)= sinx - x cosx とおくと、F' (x) = cosx - (cosx - x sinx) = x sinx

ゆえに、0 < x < π　のとき　F' (x) > 0

よって、F (x) は　0≦x≦πで単調増加する。　

※ここで質問なんですが、なぜ、0 < x < πではなく、等号も含んだ、"F (x) は　0≦x≦πで単調増加する。"　となるのでしょうか。

続)) このことと、F(0) = 0 から　F (x) > 0
ゆえに、0 < x < π のとき、不等式　x cosx < sin x がなりたつ　終

※ なぜ、F(0) = 0　を説明する必要があるのでしょうか。この　F (x) の式　を見れば、0 <x < πの範囲におき、　F(x) > 0 であることは明らかに思えるのですが。。。

回答No.1

alice_44

0<x<π の範囲で F'(x)>0 なのに
0≦x≦π で F(x) が単調増加と言える理由は、
F'(x)>0 と単調性を結びつけるものが
平均値定理だからです。

平均値定理(の条件の細部)を復習しておくとよいです。
F(x) が a≦x≦b で連続かつ a<x<b で微分可能なら、
a<c<b の範囲に c が存在して F(b) - F(a) = (b-a) F'(c)
ですよね。
このとき F'(c)>0 が保証されていれば、
b>a のとき F(b)>F(a) と言えるのです。

0≦a<b≦π であれば、上記のように平均値定理が使えることを
確認しておいてください。
この式に a=0 を代入すれば、F(b)>0 が示せます。
そのための F(0)=0 です。

「F(x) の式を見れば F(x)>0 は明らか」と言ってしまうのは、
この問題では「題意の成立は明らか」と言うのと同じですから、
何かを証明したことにはならないでしょう。