不等式の証明を教えてください

質問

不等式の証明問題で分からないので教えてください。
ａ＞０，ｂ＞０のとき、次の不等式を証明しなさい。また、等合が成り立つ場合を調べなさい。
ａ＾３＋ｂ＾３≧ａ＾２ｂ＋ａｂ＾２
この問題がどうしてもわからないので、教えてください。

回答No.1

gohtraw · ベストアンサー

両辺を因数分解して
（ａ＋ｂ）（ａ＾２－ａｂ＋ｂ＾２）＞＝ａｂ（ａ＋ｂ）
共通因数であるａ＋ｂで両辺を割って（ａ＞０、ｂ＞０なのでａ＋ｂはゼロではない）
ａ＾２－ａｂ＋ｂ＾２）＞＝ａｂ
ａ＾２－２ａｂ＋ｂ＾２）＞＝０
（ａ－ｂ）＾２＞＝０
左辺は二乗の形なのでこの不等式が成り立ち、等号成立はａ－ｂ＝０、つまりａ＝ｂの時。

お礼

非常に理解しやすい説明が付いており、助かりましたありがとうございました。

回答No.2

tomokoich

a^3+b^3-a^2b-ab^2を因数分解して
=a^2(a-b)-b^2(a-b)
=(a^2-b^2)(a-b)
=(a+b)(a-b)(a-b)
=(a+b)(a-b)^2 ---(1)
a>0,b>0なので
a+b>0
(a-b)^2≧0
(1)は≧0になります

お礼

ひじょうにわかりやすい説明で助かりましたありがとうございました