不等式の証明

質問

1-[x^2/2]<cosx<1-[x^2/2]+[x^4/24]　[x≠0]
という不等式を証明したいのですが、
cosx<1-[x^2/2]+[x^4/24]の部分がうまく証明できません。
f[x]=1-[x^2/2]+[x^4/24]-cosxとおいて、微分してみても、うまくいきません。
この証明方法を教えて下さい。
よろしくお願いします。

回答No.1

springside · ベストアンサー

ひたすら微分してみましょう。

f(x)=1-x^2/2+x^4/24-cos(x)とおく。f(x)は偶関数であるから、x≧0のときのみを考えればよい。

f'(x)=-x+x^3/6+sin(x)
f''(x)=-1+x^2/2+cos(x)
f'''(x)=x-sin(x)
f''''(x)=1-cos(x)

以上により、
f''''(x)≧0であり、f'''(0)=0なので、f'''(x)≧0
f'''(x)≧0であり、f''(0)=0なので、f''(x)≧0
f''(x)≧0であり、f'(0)=0なので、f'(x)≧0
f'(x)≧0であり、f(0)=0なので、f(x)≧0

ここで、f(x)≧0の等号はx=0のときのみ成立するので、x≠0のとき、f(x)＞0であり、題意は示された。

注：この問題は、cos(x)のマクローリン展開である、

cos(x)=1-(1/2!)x^2+(1/4!)x^4-・・・[{(-1)^m}/(2m)!]x^(2m)+・・・

を題材にしています。

お礼

回答ありがとうございます！
四階微分までするとは考えませんでした泣
なるほどです。
自分の手でもう一度確認します。
わかりやすく、ありがとうございました。