不等式の証明問題（高１）

質問

こんばんわ。高１の不等式の証明で分からない問題があるんですけど、明日提出でかなり頑張ってやっているのですが、全然分からない問題がいくつか…次の２問です。ご教授ください。

（１）
p^2＜qr, x^2＜yz, qy＞0のとき、不等式(p+x)^2＜(q+y)(r+z)が成り立つことを証明せよ。

（２）
a＞0, b＞0, c＞0のとき、次の不等式が成り立つことを証明せよ。
(1+a^3)(1+b^3)(1+c^3)≧(1+abc)^3

回答No.1

kokoaka · ベストアンサー

右辺－左辺
＝ｑｒ＋ｑｚ＋ｒｙ＋ｙｚ－ｐ^2－2ｐｘ－ｘ^2
＝ｑｒ－ｐ^2＋ｙｚ－ｘ^2＋ｑｚ＋ｒｙ－2ｐｘ
条件よりｑｒｙｚはすべて正なので
相加平均相乗平均の関係より
ｑｚ＋ｒｙ≧２√ｑｒｙｚ＞２√ｐ^2ｘ^2≧２ｐｑなので
（ｑｒ－ｐ^2）＋（ｙｚ－ｘ^2）＋（ｑｚ＋ｒｙ－2ｐｘ）
（　）内はすべて正になるので
右辺－左辺＞０　よって成り立つ

ここでばてました　急いだので
書き方がへたくそですが　ゆるしておくれませ

（２）はがんばってね
同じような発想でできますよ

お礼

なるほど！！分かりました。本当に早急の回答、ありがとうございました。感謝です！