等式証明の問題

質問

等式証明の問題
等式証明問題です。

(2)を教えてください。

(1)
∫[0→∞]{(x-t)^2}•costdt を計算せよ。
答え：2(x-sinx) になりました。

(2)等式
x-sinx=(x•θ^2)•cos(x-θ) を満たすθ(|θ|＜|x|)が存在することを示せ。
という問題です。

x-sinxが共通なので、(1)を使うのではないかと思うんですが、文字を置き換えたりして変形しても上手くいかないので、教えてください。

((3)に広義積分の積分の存在の証明があるので、(1)はそこで使い(2)は単独の問題の可能性もありますが。)

回答No.2

alice_44 · ベストアンサー

∫[0→x]{(x-t)^2}(cos t)dt = 2(x - sin x)
には納得です。でも、まだ書き違いがあるんじゃないかなあ？
x - sin x = x(θ^2)cos(x-θ) ではなく、
2(x - sin x) = x(θ^2)cos(x-θ) を示すのでは？

F(t) = {(x-t)^2}(cos t) と置くと、平均値定理より
∫[0→x]F(t)dt = (x-0)F(c), |c|＜|x| となる c がありますが、
更に θ = x-c と置けば、
∫[0→x]{(x-t)^2}(cos t)dt = x(θ^2)cos(x-θ), |θ|＜|x|
となります。

補足

x - sin x= {x(θ^2)cos(x-θ)}/2 でした。

たびたび申し訳ないです。

その方法でやってみようと思います。

回答No.1

alice_44

∫[0→∞]{(x-t)^2}•costdt は発散しない？

補足

∫[0→x]{(x-t)^2}•costdt

でした。間違えていました。