不等式の証明(微分)

質問

x>0において e^x>(x^3/6)・・・(1)を証明するのに、自分のやり方が正しいかわからないので質問します。自分の解きかたは、(1)の両辺をx^3で割って、(e^x/x^3)>(1/6) (e^x/x^3)-(1/6)>0の左辺をf(x)とおいて、f'(x)=(e^x*x^3-e^x*3x^2)/x^6がx=3で極小値(x>0におけるf(x)の最小値)をとるのでこれが0より大きいから(1)の不等式は成立するとしました。どなたかこの解き方が正しいか、間違いかお返事ください。お願いします。
問題集の解答では、g(x)=e^x-(x^3/6)の3次導関数まで考えて、g(x)がx>0において増加関数であることを示していました。

回答No.4

kiha181-tubasa

＞x=3で極小値(x>0におけるf(x)の最小値)をとるのでこれが0より大きい…
について補足します。
f(3)=e^3/3^3-1/6=e^3/27-1/6
において
2<e<3　（e=2.71828……）
であるから（具体的な値が使えないので，挟み撃ちします）
2^3<e^3<3^3
2^3/27<e^3/27<3^3/27
8/27<e^3/27<1
であり，8/27>1/6であるから
f(3)=e^3/27-1/6>0

という事で，正解です。このような挟み撃ちの説明を付けて解答すると採点者も原点箇所を見つけられないでしょう。

お礼

挟み撃ちの説明をありがとうございます。

回答No.3

gamma1854

もちろん正しいのですが、少し複雑ですね。また、
(d/dx)f(x)=(x-3)*e^x/x^4 において、f(3)=e^3/27 - 1/6=0.5772421>0
も少し面倒です。
ー－－－－－
e^x=Σ[k=0~∞] x^k/k! であり、x>0 のとき、すべての項は正ですから、
e^x = Σ[k=0~∞] x^k/k! > x^3/6.
で終わりです。

お礼

e^xの展開式(マクローリン級数)を教えてくださり、ありがとうございます。

回答No.2

maskoto

基本的には貴方の考え方でも良いと思われます
しかし、問題文にあたえられていないeの値をどうするかは、慎重にならないといけないかもしれません
教科書にe＝2.7…と書かれているのなら
無条件にこれを使って良いですが
書かれていないなら、テストでそれを証明なしにe＝2.7…としてしまうのは、ちょっと怖い(まあ、私的には教科書に書かれてなくても証明なしにe＝2.7…として良いとは思いますが…)
少しぼかして、2<e<3なら、証明なしに使うことの安全性も高いかと思いますが
この辺りのことは、学校の先生などに確認した方が良いです
また、記述の順番にも注意です
例えば、
e^X>X^3/6…①より
e^X/X^3>1/6…②
なんて記述したらアウトですよ
①は未だ証明されてない事であり、証明されてない事を使って②を導くなんてできないのです
正しくは②が言えたから、従って①と言う順番になります
この辺りの事を意識して、貴方が質問文に書いた数式を、(だいたい)下から上に書いていくと言う順番にしないといけません

なお、模範解答はeの値に触れなくて良いので、そこはメリットの一つです

〜以上参考まで〜

お礼

証明の記述の順番を指摘してくださり、ありがとうございます。

回答No.1

tmppassenger

f(x) = (exp(x) / x^3) - 1/6 に対し、 f(3)>0 なのはどうやって示したのですか？

補足

お返事ありがとうございます。
f(3)=(e^3/27)-1/6はe≒2.7として計算し、正の値か確かめました。