高校数学の不等式証明

質問

x>0のとき、
（1+x）^（1/2）　>　1+(1/2)*x-(1/8)*x^2　を証明せよという問題で、

f(x)=（1+x）^（1/2）　-　{1+(1/2)*x-(1/8)*x^2}　とおくと、
f"(x)={（1+x）^(3/2) -1 } / 4*(1+x）^(3/2)
となり、x>0のときf"(x)>0
ゆえに、f´(x)はx≧0で単調増加する。

とあるのですが、なぜx>0で単調増加ではなく
x≧0で単調増加なのですか？

回答No.1

alice_44 · ベストアンサー

平均値定理の成立条件をよく確認しよう。↓の定理33
http://aozoragakuen.sakura.ne.jp/kaisekikiso/node39.html

0≦a<b と置く。質問の問題では
f'(x) が [a,b] で連続、(a,b) で微分可能だから、
{ f'(b) - f'(a) } / (b - a) = f''(c), a<c<b を満たす c
が存在する。
0<x のとき f''(x)>0 が既に示されているから、f''(c)>0。
よって上式より f'(b)>f'(a)。

これが、0<a<b だけでなく 0≦a<b で成り立っていることが、
x>0 で単調増加だけでなく x≧0 で単調増加 だということである。

それがあるので、x>0 で f’(x) > f'(0) = 0 だと言えて、
再度 f(x) > f(0) = 0 へ持ち込める。
f'(x) が x>0 で単調増加なだけだと、a = 0 とできないから、
f'(x) と f'(0) を比較することができない。

お礼

御礼が遅れましてもうしわけございません。ありがとうございました。