不等式の証明

質問

y=1/x　のグラフを利用して、次の不等式
1/k+1 < ∫[k→k+1] 1/x dx < 1/k
を証明しなさい。ただしkは自然数とする。
と言う問題です。

反比例のグラフを使ってどのように証明をすれば良いのか検討がつきません。どのように考えて、どのように証明をすれば良いのでしょうか？

回答No.2

tra_tata · ベストアンサー

問題文に書いてある通り、y=1/xのグラフを使えばいいと思います。

添付の図で直感的に
(Aと示した領域)
　<(Aと示した領域)+(Bと示した領域)
　<(Aと示した領域)+(Bと示した領域)+(Cと示した領域)
が分かると思います

ここで、
(1) Aと示した領域は、1/(k+1)を表します。
　　なぜならば、横1、縦1/(k+1)の長方形の面積だから。

(2) A,Bを合わせた領域は、∫[k→k+1] 1/x dxを表します。
　　これは積分の意味を分かっていればすぐに分かると思います。

(3) A,B,Cを合わせた領域は、1/kを表します。
　　なぜならば、横1、縦1/kの長方形の面積だから。

以上を整理すると、証明は出来ると思います。

回答No.1

htms42

グラフを書いてみましたか。
ｘ＝ｋからｘ＝ｋ＋１まで１／ｘというグラフを積分するのです。
グラフの曲線は幅１で高さが１／ｋの長方形と高さが１/(ｋ＋１)の長方形の間にあるでしょう。