「e」が絡んだ不等式証明

質問

「自然数nについて、次の不等式が成り立つことを求めよ。
　　　n・log(n)-n+1 ≦ log(n!) ≦ (n+1)log(n+1)-n　　」

という問題で、最初は素直に左辺-右辺≧0を使って示しました。
その後、別解として数学的帰納法を用いた証明に挑みました。
n=1のときは楽勝ですが、n=kで成り立つことを仮定した後の「n=k+1」のときに、式変形でつまずきました。今回の質問は、その最後の大小関係の評価についてです。（以下、式はn=k+1のときのもの）

log{(k+1)!}-(k+1)log(k+1)+(k+1)-1
=log(k+1)+log(k!)-(k+1)log(k+1)+k
≧k・logk-k+1-k・log(k+1)+k
=1-log(1+1/k)^k　・・・・・・・・・・・・(1)

(1)をみた時、「あ、これってeの定義式に似てるな」と思い、もしかして
(1)≧1-log(e)=0　・・・・・・・・・・・・・(2)
でも言えるのかと思ったのですが、
疑問I： だからといって果たして(2)で等号が言えるのか？
疑問II：そもそも、lim[x→∞](1+1/x)^x=e は、eより大きい数からeに近付くのか？eより小さい数からeに近付くのか？そしてlim[x→-∞](1+1/x)^x=e では？

上の疑問について、答が出せる方、宜しくお願いします。

回答No.2

kabaokaba · ベストアンサー

(1+1/k)^k は有界単調増加だから収束するのです．
＃これは二項定理とかの応用．

したがって，
(1+1/k)^k < e
log(1+1/k)^k < 1
1-log(1+1/k)^k > 0

lim[x→-∞](1+1/x)^x
= lim[t→∞](1-1/t)^(-t)
= lim[t→∞]((t-1)/t)^(-t)
= lim[t→∞](t/(t-1))^t
= lim[t→∞]((1+1/(t-1))^t
= lim[s→∞](1+1/s)^(s+1)
= lim[s→∞](1+1/s)^s (1+1/s)
= e*1
= e

回答No.1

Tacosan

例えば log(1+x) のマクローリン展開
log(1+x) = x - x^2/2 + x^3/3 - ... を使うと
k log (1+1/k) = 1 - 1/2k + 1/3k^2 - ... なので
1 - k log (1+1/k) = 1/2k - 1/3k^2 + ... で, じっと見るとこれは正であることがわかります.