場合分け

質問

関数f(x)=(x＾2)ー４ｘ＋4の定義域がp-1≦x≦p＋1
における最小値をm,最大値Mとおく

(i)mをpで表す
(ii)Mをpで表す

標準形の式まで解けました
解くとf(x)=(x-2)＾2
私は、場合分けと記号が苦手でよくわかりません

例えばＸ＝１のときＹ？
Ｘ＝２のときＹ？
とは風に簡単に求められますか？
解き方がわからないのでおしえてください

回答No.4

noname#8027

この種の理解をするには、文字だけでは難しく、学校の先生に聞くのが一番だとは思いますが、挑戦してみましょう。

他の方々が書いておられるように、f(x)のグラフはかけますか？

次に、ｘの範囲をみると、p-1≦x≦p+1 ということは、xは幅２の間の定義域であることを意味します。ポイントは、幅が２で固定されていることです。

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　　└─────┘x
p-1　　　　　　　p+1

つまり、上のような範囲に切り取られるグラフの中で最大値を求めるということになります。
pが変化するということは、グラフが固定されていて、有効なxの範囲が変化していくことを意味していきます。
このとき、頂点を含むかどうか、f(p-1)とf(p+1)のどちらが大きいか、によって、最大値・最小値が変化しますので、その分かれ目で場合わけをします。

理解のためには、多少時間がかかっても、うすい紙とか針金などで上の形を作って、実際に動かしながら考えてみるとよいでしょう。

回答No.3

yukichi623

そうですね、慣れるまでは最大値と最小値それぞれについて考えた方が分かりやすいと思います。

ここでは下に凸の放物線についてパターンを考えます。
まずは最小値について。
1.定義域の中に、放物線の軸が入っている場合、最小値は頂点のy座標の値となります。
例えば、f(x)=(x-3)^2+2で、定義域が0≦x≦5の場合、最小値はf(3)=2。

2.定義域の中に、放物線の軸が入っておらず、軸よりも右側に定義域がある場合、定義域の左端の値が最小値となります。
例えば、f(x)=(x-3)^2+2で、定義域が5≦x≦8の場合、最小値はf(5)=7。

3.定義域の中に、放物線の軸が入っておらず、軸よりも左側に定義域がある場合、定義域の右端の値が最小値となります。
例えば、f(x)=(x-3)^2+2で、定義域が0≦x≦2の場合、最小値はf(2)=3となります。

最大値について。
1.定義域の中心と、放物線との軸を比べて、定義域の中心の方が右にある場合。定義域の右端が最大値となります。
例えば、f(x)=(x-3)^2+2で、定義域が5≦x≦8の場合、軸がx=3で、定義域の中心は(5+8)/2=6.5となり、軸よりも定義域の中心が右側にあります。
このときの最大値は、f(8)=27です。

2.定義域の中心と、放物線との軸を比べて、定義域の中心の方が右にある場合。定義域の左端が最大値となります。
例えば、f(x)=(x-3)^2+2で、定義域が0≦x≦2の場合、軸がx=3で、定義域の中心は(0+2)/2=1となり、軸よりも定義域の中心が左側にあります。
このときの最大値は、f(0)=11です。

3.定義域の中心と、放物線との軸が重なるとき。定義域の両端で最大値となりとなります。が、上の1,2のどちらかに含めてしまえば良いでしょう。

以上を念頭において、今回の場合は、
(i).定義域の左端p-1が軸と重なるとき（但し軸は含まない）。
定義域の右端p+1が軸と重なるとき（但し軸は含まない）。
それ以外のとき。
以上の3パターンで場合わけ。

(ii).定義域の中心pが軸よりも右側の場合（但し軸を含む）。
定義域の中心pが軸よりも左側の場合（但し軸を含まない）。
の2パターンで場合わけすれば良いでしょう。

回答No.2

noname#17965

まず、図を書きます。数学のお約束ってやつです。
変形した式から、座標（２，０）を頂点とする放物線であることが分かりますね？次に、問題文の定義域はｐを中心として±１の幅を持った範囲であることが分かります。

で、、、答えに行き着くまでのプロセスですが、Ｐに色々な値を代入します。Ｐ＝０とか、Ｐ＝－１とか、それぞれで最大値、最小値を求めます。こうやって考えると、具体的な値ではなくてＰにした時にどうやって書いたら良いか分かります。式でどうやって表現するかは考える必要がありますが、見当付けるだけならグラフ上でｐ±１の定義域をずりずり動かして考えるとすぐつきます。

この問題は、最大値と最小値を分けて考えた方がわかりやすいです。
・最大値について場合分け（２種類になると思います）
・最小値について場合わけ（３種類になると思います）

回答No.1

himajin2005_RC4

>例えばＸ＝１のときＹ？
>Ｘ＝２のときＹ？

強引な方法でこの問題を解いたとしても
数字が変わったらOUTです。落ち着きましょう。

まずf(x)=(x-2)^2までわかっていますから
このグラフを描きましょう。

定義域がp-1≦x≦p＋1とのことですが
図の形から分類すれば3種類しか存在しません

i)p-1<p+1<=2の時
ii)p-1<=2<=p+1の時
iii)p-1<p+1<=2の時
それぞれの場合の図を書いてみてください

最大値と最小値の点をポイントしてその値を求めてみてください