場合分けについて

質問

問題
関数f(x)=x＾2-4x＋4の定数域がp-1≦x≦p＋1における最小値をm,最大値をMとおいて

(1)mをpであらわす

(i)p＋1≦2
(ii)p-1≦2＜p＋1
(iii)2<p-1

（２）Mをpであらわす

(i)
P≦2
(ii)
2<P

場合分けの範囲の求め方がわかりません。

どうして、このような範囲がきまるのでしょうか？

お願いします

回答No.2

fushigichan · ベストアンサー

boku115さん、こんにちは。
今度は、頂点が動かないタイプの問題ですね。

＞関数f(x)=x＾2-4x＋4の定数域がp-1≦x≦p＋1における最小値をm,最大値をMとおいて

まず、y=f(x)の頂点から求めると

y=f(x)=x^2-4x+4=(x-2)^2
のように変形できますから、これは
頂点(2,0)下に凸の放物線です。

さて、定数域がp-1≦x≦p＋1ということですが、これは
x=pを境に、幅２だけ、定義域があり、x=pのpによって変わる、ということです。
（前の問題では、定義域が決まっていて、軸が動くのに対して
　この問題では、軸は決まっていて、定義域が変化しています）

(1)mをpであらわす
最小値の場合分けですが、
(i)p＋1≦2
(ii)p-1≦2＜p＋1
(iii)2<p-1
のようにしているのは、まさに、軸x=2と定義域の位置関係を調べているんですね。

x=2という軸の位置は不動です。
定数域p-1≦x≦p＋1
という、pを中心とした幅２の範囲が動くと考えましょう。
その幅の中に、x=2が入るかどうか、幅の右にくるのか、左にくるのかで場合わけです。

(i)p＋1≦2
　定義域が、x=2よりも左側にくるときには、
　最小値はf(p+1)になります。
(ii)p-1≦2＜p＋1
　定義域の中にx=2が入っているときは、
　もちろん軸で最小値なので、最小値はf(2)=4
(iii)2<p-1
定義域が軸よりも右側にくるときは、
　最小値はf(p-1)になります。

（２）Mをpであらわす
最大値の場合わけですが、
(i)
P≦2
(ii)
2<P
これは、最大値なので、ちょうど幅２の帯が動く時に
x座標が小さいところから動かしていくとすると、
最初は定義域の左端で、最大になっています。
ところが、定義域の真ん中のp=2のときを境にして
それよりもpが大きくなっていくと、今度は
定義域の右端で最大になっていくのが分かると思います。
（これは文章で書くと分かりにくいので、グラフを描いて確かめてくださいね）

最小値を求めるときは、場合わけが３つに対して
最大値は２とおりの場合わけですむんですね。
ご参考になればうれしいです。頑張ってください。

補足

いつもお世話になっています。（２）のとき方をがよくわかりません。
もうすこしわかりやすくおしえてもらってもいいですか？
どうして、定義式を２でわるのでしょうか？？

お願いします

回答No.3

googookenta002

No,1のものです。

（２）Mをpであらわす のことですが、fushigichanさんの回答のとおりだと思います。でも

(1)mをpであらわす の方は僕のも正解ですから、参考にしてください。

失礼しました<m(__)m>

回答No.1

googookenta002

こんばんは。お答えします(^^)

まず、関数f(x)=x＾2-4x＋4=(x-2)^2　で、このグラフの頂点は(2,0)です。

そして、定義域p-1≦x≦p＋1についていうと、pがどんな数字だろうと、グラフ上p-1とp＋1の距離は変わらないので、このp-1とp＋1よりも

(1)左に頂点(2,0)があるか、
(2)間に頂点(2,0)があるか、
(3)右に頂点(2,0)があるか、と考え、場合分けをします。

そして、最小値ｍの場合、
(1)のときはp-1
(2)のときは頂点(2,0)
(3)のときはp＋1
が最小値ｍになります。

そして、最大値Ｍの場合ですが、pはともかくＰとはなんですか？
もし、変換の間違いだったとしても分かりません(>_<)

(i)
p＋1≦2
(ii)
2<p-1

のまちがいではないでしょうか？間違っていたらごめんなさい<m(__)m>僕の力量不足でしょうか？