関数の最小値

質問

[問題]
aを実数の定数とする。関数f(x)=x^2-|x-a|-a^2+3aについて
関数f(x)の最小値をm(a)とするとき、m(a)を求めよ。

絶対値があるので、場合分けするんだろうなあというのは分かるのですが。。。
分かるところまで書いてみることにします。
場合分けは[i]と[ii]の2通り。

[i] x-a≦0 即ち x≦aの時
x^2+x-a-a^2+3a
=x^2+x-a^2+2a
=(x+(1/2))^2+((4a^2-8a+1)/4)

[ii] x-a≧0 即ち x≧aの時
x^2-x+a-a^2+3a
=x^2-x-a^2+4a
=(x-(1/2))^2-((4a^2-16a+1)/4)

ここまでは多分間違っていないと思うのですが、ここから先が考える事てんこ盛りのような
予感がします。どこから手を着けて良いものやら、何というか、次に何をやって良いのか、今
自分が何をすべきなのか、何をしているのかをイメージできず。。。

「x=-(1/2)とx=(1/2)で最小値はこれです。終わり」という訳ではないですよね？
よろしくおねがいします。

回答No.4

take_5 · ベストアンサー

どうせ場合わけが発生するんだから、いっそのこと|x-a|＝tとおいて、
t≧0の範囲で、x-a＝tの場合と、a-x＝tの場合の2つの場合の最小値を考えたら？
そのほうが、t≧0だから考えやすいんじゃ？

回答No.7

kumipapa

いや、#4～#6さんの考え方でいいはずですよね。
t = |x - a| とおいて、t ≧ 0 での最小値を考える。

t = x - a のとき）
x = t + a
x^2 - |x - a| - a^2 + 3a = t^2 + (2a - 1)t + 3a = {t + (2a -1)/2}^2 - a^2 + 4a - 1/4
こいつの t ≧ 0 での最小値は、
(2a - 1)/2 ＜ 0 のとき、即ち a ＜ 1/2 のとき t = -(2a - 1)/2 で最小値 -a^2 + 4a - 1/4　・・・(1)
(2a - 1)/2 ≧ 0 のとき、即ち a ≧ 1/2 のとき t = 0 で最小値 3a　・・・(2)

t = - x + a のとき）
x = - t + a
x^2 - |x - a| - a^2 + 3a = t^2 - (2a + 1)t + 3a = {t - (2a +1)/2}^2 - a^2 + 2a - 1/4
こいつの t ≧ 0 での最小値は、
(2a + 1)/2 ＜ 0 のとき、即ち a ＜ - 1/2 のとき t = 0 で最小値 3a　・・・(3)
(2a + 1)/2 ≧ 0 のとき、即ち a ≧ -1/2 のとき t = (2a+1)/2 で最小値 -a^2 + 2a - 1/4　・・・(4)

で、
a ≧ 1/2 のときは、(2) と (4) を比較して m(a) = -a^2 + 2a - 1/4
-1/2 ≦ a ＜ 1/2 のときは、(1) と (4) を比較して、
0 ≦ a ＜ 1/2 のとき m(a) = -a^2 + 2a - 1/4
-1/2 ≦ a ＜ 0 のとき m(a) = - a^2 + 4a - 1/4
a ＜ -1/2 のときは、(1) と (3) を比較して、m(a) = -a^2 + 4a - 1/4
以上より、
0 ≦ a のとき m(a) = -a^2 + 2a - 1/4
a ＜ 0 のとき m(a) = -a^2 + 4a - 1/4
ということではないでしょうか。

回答No.6

take_5

＞計算違いをしていなければ。。。。。。？

やっぱり、計算ミスしてる。。。。。失笑
従って、さっきの回答は駄目。

回答No.5

take_5

計算違いをしていなければ。。。。。。？

｜a｜≧1/2の時、m(a)＝3a
0≦a≦1/2の時、m(a)＝ -a^2 + 2a - 1/4＝-（a-1）＾2＋3/4.
-1/2≦a≦0の時、m(a)＝ -a^2 + 4a - 1/4＝-（a-2）＾2＋15/4.

回答No.3

kumipapa

うーん・・・面倒
それにしても、x = a のときの m(a) とは ？？・・・ a の値によって f(x) の最小値が変わるって話なんじゃ？

x ≧ a のとき
f(x) = x^2 - (x - a) - a^2 + 3a
　　　= x^2 - x - a^2 + 4a
こいつを g(x) とおきましょう。g(x) = (x - 1/2)^2 - a^2 + 4a - 1/4 なので、y = g(x) は x = 1/2 を軸とする下に凸な放物線

x ＜ a のとき
f(x) = x^2 - (-x + a) - a^2 + 3a
　　　= x^2 + x - a^2 + 2a
こいつを h(x) とおきましょう。h(x) = (x + 1/2)^2 - a^2 + 2a - 1/4
なので、y = h(x) は x = -1/2 を軸とする下に凸な放物線

ということで、y = f(x) というグラフを書くと、x ≧ a では y = g(x), x ＜ a では y = h(x) という2つの放物線を左右で継ぎ足したみたいな変な形になりますよね。で、その継ぎ目は x = a 。その継ぎ目での y の値も h(a) = g(a) = 3a であり、一応連続。何とかグラフを書いて理解してみて。以下、a の値と g(x), h(x) の軸の関係で場合分けして考えてみるけれど、グラフを書かないと多分分からない。

a ≧ 1/2 のとき、x ≧ a における最小値は g(a) で、x＜a における最小値は h(-1/2)。h(-1/2) ＜ h(a) = g(a) なので
m(a) = h(-1/2) = -a^2 + 2a - 1/4

-1/2 ≦ a ＜ 1/2 のとき、x ≧ a における最小値は g(1/2) で、x＜a における最小値は h(-1/2)。ここで、
g(1/2) - h(-1/2) = 2a
より、
0 ≦ a ＜ 1/2 なら、m(a) = h(-1/2) = -a^2 + 2a - 1/4
-1/2 ≦ a ＜ 0 なら、m(a) = g(1/2) = -a^2 + 4a - 1/4

a ＜ -1/2 のとき、
x ＞ a における最小値は g(1/2) で、x ≦ a における最小値は h(a) 。g(1/2) ＜ g(a) = h(a) なので
m(a) = g(1/2) = -a^2 + 4a - 1/4

以上まとめると、
0 ≦ a で m(a) = -a^2 + 2a - 1/4
a ＜ 0 で m(a) = -a^2 + 4a - 1/4

回答No.2

sanori

こんばんは。

１．　ｘ＜ａのとき
f(x) = x^2 - |x-a| - a^2 + 3a
= x^2 + x - a - a^2 + 3a
= x^2 + x - a^2 + 2a
= (x+1/2)^2 - 1/4 - (a-1)^2 + 1　　　←質問者様と不一致
= (x+1/2)^2 - (a-1)^2 + 3/4

f(x) の最小値は、m(a) = - (a-1)^2 + 3/4

２．　ｘ＝ａのとき
f(a) = a^2 - |a-a| - a^2 + 3a = 3a

３．　ｘ＞ａのとき
f(x) = x^2 - |x-a| - a^2 + 3a
= x^2 - x + a - a^2 + 3a
= x^2 - x - a^2 + 4a
= (x-1/2)^2 - 1/4 - (a-2)^2 + 1
= (x-1/2)^2 - (a-2)^2 + 3/4

f(x) の最小値は、m(a) = - (a-2)^2 + 3/4

整理すれば、
x＜a　のとき、m(a) = - (a-1)^2 + 3/4
x＝a　のとき、m(a) = 3a
x＞a　のとき、m(a) = - (a-2)^2 + 3/4

ここで、ｘ＜ａ、ｘ＝ａ、ｘ＞ａ　を、ｘを使わないで表さないといけないということですか？

ちなみに、私は時々計算間違いをするので、上記は検証してください。

回答No.1

noname#77845

[i] x-a≦0 即ち x≦aの時
[ii] x-a≧0 即ち x≧aの時
では、x=aの時が両方に含まれます。
で、x=aの時は？