二次関数の最大、最小値

質問

t<=x<=t+2における関数f(x)=x^2-2x+2の最大値Ｍ(t),最小値m(x)を求めよ。

という問題です。頂点を求めはしたもののいったいどのような場合分けをしてどのように解けばいいのかわかりません。
どなたかよろしくお願いします。

回答No.4

mister_moonlight · ベストアンサー

幅の2なんかどうでも良い。

f(x)＝x^2-2x+2＝（x-1）＾2＋1　から、これは軸がx＝1で　下に凸の2次関数である事を知った上で、次のように場合わけすればよい。
(1)　t≧1の時、Ｍ(t)＝f(t＋2)＝（t＋1）＾2＋1。m(t)＝f(t)＝（t-1）＾2＋1。
(2)　t+2≦1　つまり　t≦-1の時、Ｍ(t)＝f(t)＝（t-1）＾2＋1。m(t)＝f(t＋2)＝（t＋1）＾2＋1。
(3)　t≦1≦t+2　つまり｜t｜≦1の時、m(t)＝f(1)＝1は変わらないが、最大値は、f(t＋2)とf(t)の大きいほうが最大になる。
従って、f(t＋2)-f(t)＝4tであるから、t≧0の時は、Ｍ(t)＝f(t＋2)＝（t＋1）＾2＋1。t≦0の時は、Ｍ(t)＝f(t)＝（t-1）＾2＋1。

以上から、

最大値は
t≧0の時は、Ｍ(t)＝f(t＋2)＝（t＋1）＾2＋1。
t≦0の時は、Ｍ(t)＝f(t)＝（t-1）＾2＋1。

最小値は
t≧1の時は、m(t)＝f(t)＝（t-1）＾2＋1。
｜t｜≦1の時は、m(t)＝f(1)＝1。
t≦-1の時は、m(t)＝f(t＋2)＝（t＋1）＾2＋1。

但し、計算はチェックしてね。

お礼

なるほど。このようにして考えるやり方もあるのですね。Ｍ(t)やm(t)をどのように扱えばよいのかも今更ながら理解しました。
ありがとうございました。

回答No.3

enma309

グラフをかいたら、実際にｔを動かして、ｆ(ｘ)の値域がどうなるか見てみましょう。こうかくと、分かりにくいですが、ｔ≦ｘ≦ｔ+２という定義域の“幅”は常に２であるので、幅２の定義域を動かして最大値と最小値がどのような値になるかを見てみればいいのです。そうすれば、自然にどのように場合わけすればいいか見えてくるはずです。
　とにかく、関数の最大最小は、グラフの図示して、視覚的に最大最小を見ていくことが大事です。

お礼

お礼が遅くなり申し訳ありません。
どうも私はグラフを書かずに手っ取り早くやろうとするのですが、むしろ逆効果ですね。
アドバイスありがとうございました。

回答No.2

pasocom

ご提示の二次方程式をグラフにすると下向きの放物線になることはわかりますか。その形をイメージして下さい。
一方、x=t、x=t+2　という直線はＹ軸に平行な２本の線であることもわかりますね。
1)放物線の頂点がx=2の線よりも左（小さい方）にある場合は、グラフの最小値はx=tの時で最大値はx=t+2の時です。
2)頂点がx=tとx=t+2の間にあるときは最小値は頂点の位置です。最大値は頂点がx=t+1よりも左にあるときにはx=t+2の時、頂点がx=t+1よりも右にあるときは逆にx=tの時となります。
3)頂点がx=t+2より右（大きい）ときには1)と逆に、最小値はx=t+2の時で最大値はx=tの時です。
以上、グラフ（図形）で考えれば楽勝です。本当は図を添付したいのですが、添付に失敗しそうなのでやめておきます(^^)。

お礼

こちらから聞いておいて失礼なのですが、mister moonlight　さんの回答を読んでM(t),m(t)がそもそも何かは理解できました。

お返事をありがとうございました。

補足

さっそくお返事ありがとうございました。下のようになったのですが正しいでしょうか。

1)t<-1のとき
最大：t^2-2t+2(x=tのとき)
最小：t^2+2t+2(x=t+2のとき)　　　　

2)-1≦t<0のとき
最大：t^2-2t+2(x=tのとき)
最小：頂点より1(x=1のとき)

3)t=0のとき　　　　　　　　　　　
最大：2(x=0,2のとき)　　　　　　　　　　
最小：頂点より1(x=1のとき)

4)0<t≦1のとき
最大：t^2+2t+2(x=t+2のとき)
最小：頂点より1(x=1のとき)

5)t>1のとき
最大：t^2+2t+2(x=t+2のとき)
最小：t^2-2t+2(x=tのとき)

ところでこれらの答えはどのように解答すればよいのですか。つまり、

1)t<-1のとき
M(t)=t^2-2t+2(x=tのとき)
m(t)=t^2+2t+2(x=t+2のとき)

2)-1≦t<0のとき
M(t)=t^2-2t+2(x=tのとき)
m(t)=1(x=1のとき)　　　　　　・・・・・・

ではおかしいですよね。よろしくお願いします。

回答No.1

Quattro99

y=x^2-2x+2のグラフを描いてみてもわかりませんか？
そのグラフを幅2で切り取った部分の最大値、最小値を求めよということです。幅2で切り取る部分をずらしていくとどこで場合分けをすればよいのかわかると思うのですが。

≧や≦は機種依存文字ではないので、ネット上で使ってもかまいません。全角になりますけど、こちらを使っていただいたほうが見やすいのでありがたいです。

お礼

お礼が遅くなり申し訳ありません。
つい先日、情報の授業でプログラミングをやったばかりだったので錯覚していました。
ありがとうございました。